突破探究性问题的几种有效策略

四川 蔡勇全 赵菊英

突破探究性问题的几种有效策略

四川 蔡勇全 赵菊英

探究性问题是运用已有知识，利用观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段，对问题进行探索和研究的一类问题，其立意具有新颖性，思维具有发散性，解法具有探索性，结论具有多元性，因而备受各级各类考试命题者的青睐.本文借助实例，介绍突破探究性问题的几种有效策略，旨在探索题型规律，揭示解题方法，以期抛砖引玉.

一、特值探路法

当我们面临一道难以入手的一般性题目时，不妨以退为进，退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，即对题设条件取某些特殊值，然后探求出结论或满足结论所需要的某些条件，并予以验证或证明.

例1已知不等式a(4-sinθ)4+cos2θ-3+agt;0对一切θ∈R恒成立，求实数a的取值范围.

评注特值探路法实质上是特殊化思想在解题中的体现，先行运用特值试探可以将繁杂的问题简单化，抽象的问题具体化，就像在大海里航行的船只发现了航线中的灯塔，能使人准确定位,快速答题，高效且省时省力.

二、观察猜想法

当题目中给出几个具体的关系式，要求写出一般性规律或后续某一项的具体形式或结果，可通过观察、分析，进而发现或猜测得到结果，必要时还应按要求对猜测结论进行证明.

例2给出下列等式:

①cos2α=2cos2α-1；

②cos4α=8cos4α-8cos2α+1；

③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1；

④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；

⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.

可以得出，m-n+p=________.

解析下面通过观察各等式中各项系数的变化规律，作出猜想.

(1)先观察各等式右边的首项系数:2=21，8=23，32=25，128=27，猜想m=29=512；

(2)再观察各等式倒数第2项的系数:2=12+12，-8=-(22+22)，18=32+32，-32=-(42+42)，猜想n=52+52=50.

(3)最后观察各行右边各项系数之和:2-1=1，8-8+1=1，32-48+18-1=1，128-256+160-32+1=1，猜想⑤中应有512-1280+1120+50+p-1=1，得p=-400.

综上所述，m-n+p=512-(-400)+50=962.

变式观察下列各式:

……

提示下面通过观察各等式中n的取值与等式右边指数的变化规律，作出猜想.

第一个等式中，n=1，右边式子为40=41-1；

第二个等式中，n=2，右边式子为41=42-1；

第三个等式中，n=3，右边式子为42=43-1；

Woodruff顾客价值层次模型认为顾客感知价值具有3个不同层次，即基于产品属性的价值感知，基于使用结果的价值感知与基于使用目的的价值感知，3种价值感知之间存在层次影响关系，且具有“自上而下”与“自下而上”两种影响关系，“自下而上”主要应用于对产品属性的完善以达到消费者使用结果，从而强化消费者的需求[18]853。本文主要对“自下而上”即“属性-结果-目的”层次关系进行实证研究，并且基于游客感知视角，依据感知价值层次模型的关联程度提供完善乡村旅游地游客中心的功能的对策。

第四个等式中，n=4，右边式子为43=44-1；

……

猜想，第n个等式的右边为4n-1.

评注此类问题有效地考查了学生由特殊到一般的归纳推理能力，解题时，能否完成归纳，关键在于能否通过观察、抽象、概括出隐藏在现象背后的规律.

三、逆推判断法

当题目中要求判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立时，可采用逆推的策略，即先假设题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明.

(Ⅰ)令bn=an+1-an-1，求证:数列{bn}是等比数列；

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；

评注上例及其变式分别是从某一数学对象最终存在、不存在两个角度进行设计，值得一提的是，逆推时，常见的数学对象不存在的依据可能是导出了常识性的错误，也可能是导出了知识深度性错误，所以解题策略应往这两方面考虑.

四、分类整合法

在探究性问题中，由于参数的变化或元素的位置关系可能有多种情况发生，因此往往需要用分类整合的方法进行探索或排除，恰当地进行分类整合，可避免以偏概全，防止丢值漏解.

例4已知{an}为正项等差数列，{bn}为正项等比数列，是否存在实常数a，使an-a1=logabn-logab1对一切n∈N*恒成立？若存在，求出a；若不存在，请说明理由.

变式已知数列{an}的通项公式为an=ntn+t(tgt;0)，数列{an}是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由.

提示an-an+1=ntn-(n+1)tn+1=tn[n(1-t)-t].

(1)当t≥1时，易知an-an+1lt;0，即a1lt;a2lt;a3lt;…，所以数列{an}不存在最大项；

五、联想类比法

当题目中事先给出某一数学对象的性质或特征，要求指出与该数学对象处于同一体系内或不同维度下另一种数学对象的性质或特征，解决此类问题，常需进行类比、分析、联想，或构造数学模型，或将问题从低维推广到高维，最终给出具体答案或得出新的结论.

试对空间中的四面体V-BCD写出具有类似的结论，并加以证明.

四川省资阳市外国语实验学校 四川省资阳市雁江区第二中学)