2017年高考全国卷立体几何命题趋势

安徽 朱启州

2017年高考全国卷立体几何命题趋势

安徽 朱启州

立体几何是中学数学的核心内容，又是高考命题微创新最活跃的部分．本文试图就2017年全国卷立体几何命题趋势谈几点看法，供大家参考．

一、2017年立体几何高考数学卷中的“不变”

每年的高考数学命题都是在继承中求稳定、创新中求发展．具体说预计2017年全国卷立体几何的命题在以下几个方面不会变：

1．对空间几何体的三视图、体积、面积的计算考查

【例1】（2014·湖北文）在如左图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号为①②③④的四个图，则该四面体正视图和俯视图分别为 （ ）

A．①和②

B．③和①

C．④和③

D．④和②

【解析】由给出的顶点坐标，画出符合要求的四面体，由于不够直观，可以通过补图的方法将图形补成一个长方体或正方体，再画出该四面体的正视图和俯视图，可得结果，应选D．

【变式1】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12．6立方寸，则图中的x为 （ ）

A．1．2

B．1．6

C．1．8

D．2．4

【答案】B

【评析】对三视图的考查重点是学生对空间几何体的识别以及几何体的体积、面积计算以及图形位置关系，以及考查学生的空间想象能力，一般难度不大．

2．对空间线面平行与垂直关系的考查

空间线面位置关系有关概念、公理、定理的理解与运用是立体几何核心内容，是高考命题的热点．

【例2】（蚌埠市2017届高三质量检测19）如图，正四棱锥P－ABCD各棱长都为2，点O，M，N，Q分别是AC，PA，PC，PB的中点．

（1）求证：PD∥平面QAC；

（2）求三棱锥P－MND的体积．

【解析】（1）连接BD，则BD交AC于O点，连接OQ，

因为O是AC的中点，Q是PB的中点，所以OQ∥PD，

又因为OQ平面QAC，PD平面QAC，

所以PD∥平面QAC．

【变式】（2016·新课标Ⅱ理）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．

③如果α∥β，mα，那么m∥β．

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有_______．（填写所有正确命题的编号）

【答案】②③④

【评析】空间线面平行与垂直关系证明往往与空间向量、空间角与距离求解等放在一起，解题方法一般有几何法和向量法，当几何法不易时常用向量法解决．

3．围绕理性思维能力的考查设计立体几何问题

概念、判断与推理是理性思维的三种基本形式，它是以数学理解为基础，围绕理性思维设计高考立体几何问题已成为常态．

【例3】已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 （ ）

A．4cm3B．5cm3

C．6cm3D．7cm3

【解析】本题重点考查三视图的有关知识，和简单几何体的有关计算．此类题把三视图转化为直观图是解题的关键．

【变式】（2014·新课标Ⅰ理·12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （ ）

【解析】从三视图可知，可考虑在棱长为4的正方体内构造出这个四面体D－ABC，

故最长的棱长为6．

【评析】《新考纲》中三选一模块删去“几何证明选讲”，这就必然要求立体几何问题的设计要以推理论证能力的考查作为重要元素．

4．与球的组合体有关的立体几何问题不容忽视

在全国卷中，与球的组合体有关的立体几何问题出现的频率是比较高的，球的体积与表面积的计算、与其他立体图形构成的组合体的有关计算．

【例4】已知正三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，则球O1与球O2的体积之比为________

【解析】显然正三棱柱外接球与内接球是同一点，设为O点，球O1与球O2的半径分别为R，r，正三棱柱底面边长为a，则正三棱柱的高为2r，

【变式】（2016·新课标Ⅲ文·11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是 （ ）

【评析】球体问题往往先确定球心，再确定半径，常常通过截面图将问题转化为平面几何问题来解决，常常运用圆的有关性质解题．

二、2017年全国卷立体几何命题的新动向

基于《新考纲》，2017年全国卷高考数学立体几何部分将可能在以下几个方面有所建树．

1．突出立体几何模块与其他模块间的融合

【例5】已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B1C1与曲线Γ相交于点P．

（1）求曲线Γ长度；

若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．

【简解】（1（将圆柱侧面展开成平面）；

【变式】（黄岗市2016年高三3月份质检题）如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的表面运动，且P到直线BC与直线C1D1的距离相等．如果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是 （ ）

【解析】在平面BCC1B1中，由P点到直线BC与直线C1D1的距离相等，可知P点C1的距离与到直线BC的距离相等，所以点P的轨迹是以C1为焦点，BC为准线的抛物线，可排除C，D；再在其他平面上验证，在平面BB1A1A中，P点到BC1C1D1距离相等可转化为P到B的距离平方比P到A1B1的距离平方大1，可求出此时P的轨迹方程，可知B符合题意．

【评析】例4还可以用几何法求解，它是一道涉及点到平面的距离、面面角等立体几何综合题，同时又是一道应用函数与导数分析与解决问题应用题；变式题是一道立体几何问题与解析几何问题的综合题．

2．突出体现现实情境下的立体几何应用问题

体现现实问题情境下的应用问题，能更好地考查学生综合运用知识解决问题的能力，体现数学学科应用的广泛性和学科价值．

【例6】某产品包装盒（如图），平面ADE⊥平面ADC，矩形DCBE中，AB、BE边的长分别为20cm和30cm，∠ACB＝∠ACD＝90°，因包装产品的需要，要求该包装盒平面ADE与平面ABC所成的二面角不小于60°，问：边BC长度至少多长才能满足要求？

【简解】可考虑在底面对角线长为20cm，高为30cm的长方体内构造出这个四棱锥A－BCDE，设BC＝t，则AC＝，以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，

面ABC的一个法向量为n2＝（0，0，1）．

∴t≥10．即边BC长度至少为10cm才能满足要求．

【变式】如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm．要使包装盒容积V（cm3）最大，这时x值为________．

【简析】，对其求导，得，易求得当x＝20时取得极大值，也就是当x＝20时，包装盒容积V最大．

【评析】此问题具有一定现实背景数学应用问题，通过阅读获取信息，将实际问题转化为数学问题．

3．突出体现数学文化立体几何问题

【例7】（2013·上海理·13）在xOy平面上，将两个半圆弧（x－1）2＋y2＝1（x≥1）和（x－3）2＋y2＝1（x≥3）、两条直线y＝1和y＝－1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过（0，y）作Ω的水平截面，所得截面面积为，试用祖暅原理，求出一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．

注：祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异．”意思是说：两等高立方体，若在每一等高处的截面面积都相同，则两立方体的体积相等．

【解析】由题意，知一个水平放置的半径为1高为2π的圆柱体和一个高为2底面面积8π的长方体组合成一个几何体，这个几何体与几何体Ω放在一起，每个平行水平截面的截面面积都相等．根据祖暅原理，可知它们的体积一定相等，即几何体Ω的体积为π×12×2π＋2×8π＝2π2＋16π．

【变式】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）

【答案】D

【评析】我国古代数学著作如《九章算术》《数书九章》等有大量素材．如例1变式问题、2015年全国Ⅰ卷文理第6题都是《九章算术》中的问题．这类问题难度不大，关键是审清题意，理解给出的相关概念．

4．以数学问题解决为基础的立体几何微创新问题

【例8】如左图，有两个圆柱体，它们的底面都是半径为1的圆．这两个圆柱互相垂直地交叠在一起，中心轴相交，在公共部分这个几何体里，正好可以内切一个半径为1的球体．教科书中关于球体积公式推导，运用了“分割，求近似和，化为准确和”的方法，利用这种思想，试求它们公共部分（如右图）的体积是多少？

【解析】设想在阴影部分中放进一半径为1个单位长的球，使它的圆心正好在轴线的交点．其轴截面如下图，公共部分则为一个正方形，内有一个内切圆，为单位球的截面圆，如果将截面向两边平移，公共部分还是一个正方形，内也有一个内切圆，是单位球被平面截得的截面．

设想用这样的一组平面把公共部分切成n层，所有这些“薄片”都叠加起来，各圆片之和就是单位球的体积，各正方形薄片之和就是公共部分的体积，应有如下关系：

【变式】如图，圆柱、圆锥与半球的底面直径都为2R，半球内切于圆柱，圆椎的顶点是圆柱的底面圆心．则圆柱、圆锥与半球体积之比为________．

【答案】3∶2∶1

【评析】例7中运用数学思想去解决问题，变式问题中优美结果发现，都是微创新．

（作者单位：安徽省淮北市杜集区教育局）