函数不等式证明的技巧

陕西 侯有岐

函数不等式证明的技巧

陕西 侯有岐

利用导数解决函数、方程、不等式等综合性问题是导数的重要应用，也是高考考查的重点、热点和难点．考查方式多样，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，且多数有一定的难度．解决这类综合性问题除了要熟练掌握导数这个解题工具外，还要熟练运用函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想．

利用导数知识证明不等式，其关键是构造适当的函数，本质是利用导数与函数的性质来研究函数的单调性，通过单调性证明不等式．本文拟以2016年山东高考理科第20题为载体，谈构造函数，运用导数，证明函数不等式的技巧．

一、试题呈现

（1）讨论f（x）的单调性；

二、解题思路

本题第一问是常规的讨论，先求f（x）的导函数，再对a进行分类讨论，进而确定f（x）的单调性．这里可用表格呈现讨论结果，这样更清楚，利于改卷老师评判．

第二问要证明一个恒成立的不等式，证明难度颇大．通常通过等价转化，化成函数问题，再利用导数来解决函数的单调性、极值、最值和函数不等式的“恒成立”或“存在解”问题．

一般地，要证明f（x）＜g（x），x∈（a，b），可以构造函数F（x）＝f（x）－g（x），如果F′（x）＜0，则F（x）在（a，b）上是减函数，若同时F（a）≤0，由减函数的定义，可知对任意x∈（a，b），有F（x）＜0，即证明了f（x）＜g（x）．

三、解法剖析

3．1 寻求左侧的最小值，证其大于常数a

一般地，要证明f（x）＞a（常数），需要对f（x）求导，判断f（x）的单调性，算出f（x）的最小值，证明f（x）min＞a即可．

3．2 考虑到不等式的复杂结构，巧妙变形，分而治之

记φ（x）＝－3x2－2x＋6，则φ（x）在x∈［1，2］上单调递减，又φ（1）＝1＞0，φ（2）＝－10＜0，故φ（x）在［1，2］上存在唯一零点x0∈（1，2），使得x∈（1，x0）时，φ（x）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x）＜0，所以函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减．

又等号不可能同时取得，故得证．

3．3 利用经典不等式放缩后再证明

利用导数证明函数不等式，不管怎样等价变形，总体上是转化成平时我们研究过的熟悉的函数，如y＝lnx，y＝xlnx，y＝ex等和高中数学中一些常见的经典函数不等式，如y＝ex，y＝lnx，y＝x＋1，y＝x，y＝x－1在（0，＋∞）上的放缩关系为ex＞x＋1＞x＞x－1≥lnx，当x＝1时等号成立．尤其是利用经典的函数不等式放缩后再证明有关不等式往往能起到事半功倍的效果．本例还可这样思考：

四、解后反思

函数不等式的证明体现了等价转化的数学思想，因而我们要关注转化与构造，在体现导数的工具性作用上创新、积累．研究近几年高考，归纳函数构造方法和技巧有：

4．1 联想导数运算法则构造（选择、填空题较多）

【例2】（2007·陕西理·11）f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）＋f（x）≤0．对任意正数a，b，若a＜b，则必有 （ ）

A．af（b）≤bf（a） B．bf（a）≤af（b）

C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）

【解析】因为xf′（x）＋f（x）≤0，即xf′（x）≤－f（x），f（x）≥0且x＞0，

即bf（a）≥af（b）．故选A．

上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）·tanx成立，则 （ ）

【解析】解法1：令f（x）＝x，易选D．

4．2 通过作差变形构造

【例3】设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R．

（1）求f（x）的单调区间与极值；

（2）求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1．【解析】（1）易知f（x）的单调递减区间是（－∞，ln2］，单调递增区间为［ln2，＋∞）．

f（x）在x＝ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）＝eln2－2ln2＋2a＝2（1－ln2＋a）．

（2）设g（x）＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，

于是g′（x）＝ex－2x＋2a，x∈R．

由（1）知，当a＞ln2－1时，g′（x）的最小值为g′（ln2）＝2（1－ln2＋a）＞0，

于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，

所以g（x）在R内单调递增．

于是当a＞ln2－1时，对任意x∈（0，＋∞），

都有g（x）＞g（0）．

而g（0）＝0，从而对任意x∈（0，＋∞），g（x）＞0．

即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1．

【评注】利用导数方法证明“不等式f（x）＞g（x）在区间D上恒成立”的基本步骤是先构造函数h（x）＝f（x）－g（x），然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h（x）＞0．其中一个重要技巧是找到函数h（x）在什么地方可以等于0，这往往是解决问题的一个突破口，如本例中构造的函数在x＝0处等于0，由于要证明当x＞0时不等式成立，则只要证明构造的函数在区间（0，＋∞）上单调递增即可．

4．3 通过移项等价变形之后构造

【评注】利用导数方法解决“任意、存在并存型”中的双变量不等式成立问题，关键是等价转化．即对于“若x∈M，λ∈N，f（x）＜（＞）g（λ）恒成立，求所含参量t的取值范围”这类问题，在求解时将其等价于f（x）max＜g（λ）max（f（x）min＞g（λ）min）即可，从而转化为函数的最值问题．

【变式3】已知f（x）＝－x－ln（－x），x∈［－e，0），其中e是自然对数的底数．

【评注】本题不能将f（x）min＝1直接代入来证明，因为f（x）min＞g（x）max成立是f（x）＞g（x）成立的充分不必要条件，但移项变形后便得到了f（x）＞g（x）型，如果能证明f（x）min＞g（x）max成立，便可证明f（x）＞g（x）．此法不常用，且易出错，要注意仔细体会．

4．4 利用结构的相似性构造

【例5】设函数f（x）＝x2＋ln（x＋1）．

当x≥1时，h′（x）≥0，所以函数h（x）在［1，＋∞）上是增函数．

由已知，不妨设1≤x1＜x2，则h（x1）＜h（x2），

【评注】利用导数方法证明函数不等式问题，对这类待证式相对复杂、抽象的题目，要充分利用待证式的结构特征与我们学过的有关知识的相似性，寻找关联，巧妙构造函数，运用导数的方法，来解（证明）不等式，这样会使看似复杂的问题变得直观和简单．

【变式4】设函数f（x）＝x2－ln（x＋1）．

4．5 构造函数，利用经典不等式放缩后证明

【评注】证明f（x）＞1通过放缩变形后转化为只需证明ex－1＞x（x＞0）成立，根据经典函数不等式ex＞1＋x（x≠0）易证之．事实上，很多高考题的命制都以经典不等式为背景，高中数学中一些常见的经典函数不等式，如①lnx＜x－1＜x（x＞0）；

4．6 局部构造函数后证明

【评注】根据函数特点，通过局部构造函数g（x）＝xex＋1，利用导数工具求出最小值，证明最小值大于0达到证明f（x）＞0的目的．要证f（x）≤1，只需证明函数f（x）的最大值为1即可．

事实上，函数、导数、不等式是一个综合的整体，也是多年来高考命制压轴题的主要背景，所以大家要以高考题为研究载体有针对性的复习，本文仅根据2016年山东理第20题入手，探索构造辅助函数，利用导数的方法和函数的性质证明不等式的一些典型方法，同学们应引起重视，自觉、主动的加以关注、积累、体会、强化训练，以卓越的“构造”能力强势应对高考把关题、压轴题．

（作者单位：陕西省汉中市四○五学校）