两类数列不等式的证明探析

福建 彭耿铃

两类数列不等式的证明探析

福建 彭耿铃

不等式的证明因其思维跨度大、构造性强，需要具备较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的后继学习潜能，因而成为高考试题考查的极好素材，备受青睐．本文就此类题目进行总结梳理，希望读者能决胜于高考．

一、对数型数列不等式的证明

【例1】（2014·陕西理）设函数f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝xf′（x）（x≥0），其中f′（x）是f（x）的导函数．

（Ⅰ）令g1（x）＝g（x），gn＋1（x）＝g［gn（x）］（n∈N＊），求gn（x）的表达式；

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设n∈N＊，比较g（1）＋g（2）＋…＋g（n）与nf（n）的大小，并加以证明．

【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略；

在解题（Ⅲ）中引入（Ⅰ）（Ⅱ）的结论，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，它有利于培养同学们的即时应用能力与创新意识，这应在平时的训练加以重视．

（Ⅰ）用a表示b，c；

（Ⅱ）若f（x）≥lnx在［1，＋∞）上恒成立，求a的取值范围；

【小结】在证明形对数型数列不等式，其常用的证明方法是设数列不等式的左、右两边分别为Sn，Tn，只要控制Sn的通项an大于或小于Tn的通项bn即可，而证明an＞bn（an＜bn），一般利用本题中（Ⅰ）（Ⅱ）的特殊结论，再迭加求和即可证明不等式．

二、常数形数列不等式的证明

【例3】（2014·新课标卷Ⅱ）已知数列｛an｝满足an＝1，an＋1＝3an＋1．

（Ⅰ）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；

【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略．

由（Ⅱ）可知，当λ＞1时，xn＋1＝λn－1xn，yn＋1≥λn－1yn，

【总结】在证明常数形数列不等式，其常用的证明方法是构造一个小于或大于不等式的右边常数的数列和Tn，只要控制不等式左边的通项an大于或小于Tn的通项bn即可．

（作者单位：福建省泉州市第七中学）