关注“三度”，丰富小学数学概念内涵

张嫦

数学概念是客观现实中数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映，且每一个概念不是孤立存在的，它和其他知识之间存在多维的结构关系。笔者认为，在小学数学概念教学中，应关注概念的宽度、深度和完整度，引导学生把所学知识融会贯通，才能达到对概念内涵的丰富性理解。

一、关注宽度，欣赏概念的不同侧面和丰富内涵

宽度即多角度，教师要能抓住一个概念的不同侧面和丰富内涵，便于在教学中引导学生进行多角度学习。在实际教学中，一些教师常常只注重概念的某个侧面，特别是教材中标准的例子，忽视非标准的变式，导致学生不能很好地理解概念内涵，在解题过程中也就不懂得灵活运用。

例如，“分数除法的意义”与“整数除法的意义”都可看成是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。但分数在学生眼里还是十分抽象的，虽然说分数也是一个数，但学生容易将之与整数除法相混淆。为了丰富学生对“分数除法的意义”的理解，教师可以把数学和现实世界的情境联系起来，用不同角度进行描述。如算式 ÷ ，可以描述成：我这里有 千克糖，如果每包 千克，一共能分成多少包？也可以描述成：有两包糖，白糖是 千克，红糖是 千克，白糖质量是红糖质量的几倍？这两种描述都可以表示 ÷ ，但它们对应的数值模型是不同的。对同一个除法算式，通过多角度、不同的数值模型进行解释，能引导学生灵活地理解概念。

关注宽度还应拓宽概念的内涵，不囿于教材所示的“定义”。如教材这样定义“比”：两个数的比表示两个数相除。而实际上，比是一种关系，不是除法运算，只有在求比值时才用到除法。“比”原本是同类量的比较关系，但也可以推广到不是同类量的情形。也就是说“比”是一种关系，它揭示了两个变量之间一种不变的关系，这是“比”概念的本质。在教学引入时，笔者创设调配蜂蜜水的情境，假设蜂蜜和水的比是1∶8，鼓励学生从分数、份数、倍数等不同的角度来理解“1∶8”的含义，感悟到比的度量价值。接着再引导学生思考如果蜂蜜量的变化，水应如何变化，从中感悟蜂蜜和水之间必须保持的不变关系——倍数关系。通过“你变我也变，是有规律地在变”，让学生体会到“比是一种函数关系”。最后再探究不同类量的“比”，感悟比在生活运用中的便利。多角度拓宽“比”概念内涵，而不是简单地把“比”说成两数相除，才能突显概念教学的价值。

二、关注深度，挖掘概念的基本思想和数学本质

深度即数学本质，教师应抓住概念的基本思想和数学原理，并时常重温和强化它们。很多看似简单的数学概念背后蕴含着丰富的数学思想方法，但部分教师没有在教学中加以深究，慢慢就把这些思想方法冲淡甚至遗失了。

例如，教材上指出“含有未知数的等式叫方程”，这其实不是严格的定义，区分等式、不等式和辨认方程也不是学生学习的难点。方程作为一种数学模型，目的是对其运用以“求解”未知數。方程的代数运算和算术解法的思维方式正好相反，一个是摸着石头过河，一个是已经与河对岸建立关系来探索原路。因此，在方程的意义教学中，应淡化“含有未知数的等式叫方程”，突出概念背后的方程思想方法并在教学中逐步渗透。

关注深度还应突出数学本质，鼓励学生主动思考，主动探究，在探究过程中提升学生的理性精神，引导学生进行有意义的学习。如“面积的意义”，教材上指出“物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积”，很多教师会围绕这句话进行教学设计，反复讨论什么是表面、什么是封闭情形。这样做其实意义不大，面积的教学核心是如何测量图形的大小。它与长度和体积作为一种测量过程其本质是一样的，只不过图形的维度不同。因此，在教学面积时，可以先回顾长度的测量过程，将面积的测量过程与长度的测量过程进行类比，再次揭示测量的数学本质。然后分三步进行教学：第一步给出单位正方形，第二步对测量物体进行“覆盖”或“内填”，第三步数出单位正方形的个数。这样的三步，面积的数学理论就有了雏形。

三、关注完整度，沟通概念之间的联系和方法迁移

完整度即融会贯通，教学时应把相关概念“粘连”成一个融会贯通的整体，形成一定的概念系统。如果教师不注意相关概念的联系教学，学生习得的概念就显得零碎而孤立，无法将相关联的概念知识串成知识网络。

例如，整数、小数、分数的加减法贯穿小学各个阶段，它们的含义都是求几个部分数的和的运算。它们的计算方法从表面上看似不同，但实质上它们有一个共同的特点——相同计数单位的数才能直接相加减。在教学“分数加减法”时，教师就应该把分数加减法和整数、小数加减法沟通起来，引导学生思考：为什么整数加减法要个位对齐，小数加减法要小数点对齐？个位对齐和小数点对齐表面上看计算方法不一样，但不管对齐个位还是小数点，都是相同计算单位上的数对齐才能进行运算。在充分理解了这一点后，学生就能明白为什么同分母分数可以直接相加减，而异分母分数要先通分再加减这个道理。乘除法也是一样的，如30×2、0.3×2、 ×2，表面上看分别属于整数乘法、小数乘法、分数乘法三种计算方法，实际上它们也是相通的，只不过计算单位不同，分别可以得到6个十、6个0.1和6个 。

关注完整度还应该重视学习方法的迁移，也就是概念同化。在学生原有知识经验基础之上，应引导学生充分认识原有概念和新概念之间的联系，使旧概念得到改组或改造，从而获得新的概念。如在教学“圆柱的侧面积”时，笔者引导学生回顾长方体的侧面积计算过程是把三维立体图形化为二维平面图形，依次计算出每个面的面积再相加;也可以把侧面展开变成一个大长方形，长方形的长就是长方体的底面周长，宽就是长方体的高，从而得出长方体的侧面积=底面周长×高。随后，笔者再把要学的圆柱、长方体和正方体以及具有共通思维方式的三棱柱、五棱柱等直柱体整合在一起，引导学生思考这些立体图形的共同特征和本质上的联系，再去考虑圆柱的侧面积问题。通过关联这些直柱体，用共通的思维方式，化三维为二维，学生能体会到尽管它们各自有其特殊的表面积计算公式，但它们的侧面积计算都可以概括为“底面周长×高”。

关注完整度，能防止学生学得的知识显得支离破碎，学生学到的不再是孤立的专题，而是知识的有机整体。

总之，教师应关注概念的宽度、深度和完整度，让学生明白概念的发展脉络，才可丰富学生对概念的理解。

（作者单位：福建省厦门市湖明小学    责任编辑：王振辉）