高校强基计划校测笔试中的数列问题

北京市十一学校(100039) 唐浩哲

强基计划即高校开展的基础学科招生计划,目标是选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生,选拔依据主要为考生高考成绩和高校的校测成绩.从2020 年强基计划开始实施,到2022 年7 月新一轮强基校测笔试题的新鲜出炉,这3 年中,北大清华各高校试题的题型和难度都比较稳定.因此,研究高校校测笔试试题,对于高中生的培优和强基备考,有着重要意义.

数列问题贯穿于中学数学与高等数学,且难度适中,因此是高校强基校测笔试的热门考点之一.强基校测的数列问题不仅覆盖了高考范围内的等差、等比基本数列以及前项和等内容,更是指向对学生知识和能力要求较高的一般的递推数列求通项;数列问题主要涉及待定系数法、配凑法、特征方程法、换元法、消元法、放缩法、升角标相减法、数学归纳法等方法,又与函数、不等式、数论等知识板块相链接,内容丰富,非常值得梳理和研究.

例1(2020 北大强基校测) 满足对任意n≥1 都有an+1=2n-3an,且严格递增的数列{an}n≥1的个数为()

A.0 B.1 C.无数个 D.前三个答案都不对

评析本题是已知递推关系求通项的常见题型.若改变解题策略,直接考虑数列的单调性,由an+2=2n+1-3an+1和an+1=2n-3an相减可得an+2-an+1=2n-3(an+1-an),据此求出数列{an+1-an}的通项公式后,也可以得到答案.

例2(2020 北大强基校测)已知数列{an}满足a1=1,a2=9,且对任意n≥1 都有an+2=4an+1-3an-20,则数列前n项和Sn的最大值为()

A.28 B.35 C.47 D.前三个答案都不对

解答由递推关系an+2=4an+1-3an -20 可配出an+2-an+1-10=3(an+1-an -10),从而an+1-an -10=3n-1(a2-a1-10)=-2×3n-1,所以an+1-an=10-2×3n-1,可知当n≥3 时,an+1-an ＜0,即a3＞a4＞a5＞···,又注意到a1=1,a2=9,a3=13,a4=5,所以当n≥5 时,an ＜0,因此Sn的最大值为S4=28,选A.

评析求前n项和的最大值,实际只需要明确每一项的符号即可.本题的解题过程始终关注了数列的单调性,与例1评析中的思路类似.若想去求出通项公式,反而会将问题复杂化.

例3(2020 北大强基校测)已知数列{an}满足:a1=1,a2=4,且对任意的n≥2 有1an+1=2n-1,则a2020个位数字是()

A.8 B.4 C.2 D.前三个答案都不对

解答依题意,

评析本题的难点在于:根据已知递推关系的形式,先升角标相减消去指数项,再整理变形,最后得到该数列的一个二阶线性递推关系.

例4(2020 清华强基校测)若数列A:a0,a1,a2,···,a20满足a0=0,|ai|=|ai-1+1|(i=1,2,···,20),则()

A.存在数列A使|a0+a1+a2+···+a20|=0

B.存在数列A使|a0+a1+a2+···+a20|=2

C.存在数列A使|a0+a1+a2+···+a20|=10

D.存在数列A使|a0+a1+a2+···+a20|=12

解答对于选项B,构造数列0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,1,2,3,4 即可;对于选项C,构造数列0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0 即可;因为a2k-1+1=±a2k,所以a2k-1+a2k+1=0 或2a2k,注意到a2k一定为偶数,因此a2k-1+a2k+1≡0(mod4),于是a0+a1+a2+···+a20≡2(mod4),排除选项AD,所以答案为BC.

评析以上的解答过程实际上也证明了该摆动数列的奇偶子列都是单调数列,我们还可以据此求出该数列的极限为

例8(2021 清华强基校测)一个有限项的等差数列,公差为4,且它的首项的平方与其余所有项的和不超过100,则该数列的项数可以是()

A.7 B.8 C.9 D.10

评析强基试题中也会涉及中学大纲范围内的重要内容和方法,本题就用到了解决数列问题的基本量法以及求解二次函数存在性或恒成立问题的判别式法.

评析本题的第1 小问与例12 类似,都是根据数列通项的形式逆向使用特征方程法;第2 小问与例3 的后半部分类似,都用到了线性递推关系生成的一定是模周期数列这一性质.对于高校强基校测中数列问题的这些高频考点,我们一定要引起重视.