2022 年高考浙江卷解析几何题的定性分析与变式探究

湖北省恩施州教育科学研究院(445000) 周威

湖南省长沙市雷锋学校(410217) 童继稀 邓捷敏

一、试题呈现

(1) 求点P到椭圆上点的距离的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

二、定性分析

受性质1 与性质2 的启发,当椭圆为一般情形时,第(2)问中|CD|的最小值是否总是存在呢? 虽然这个最小值的表达形式可能不一定简洁,但从定性的角度考虑却总是存在的!结合信息技术,经过探究有如下一般结论:

从(**)式来看,可知|CD|的表达式中被开方式是关于的二次项系数为正数的二次式;结合(*)式来看,被开方式恒大于0,从而|CD|有最小值.

我们自然会思考,结论1 在双曲线与抛物线中的情形是怎样的? 因双曲线情形异常复杂,本文不再讨论,以下将结论拓展到抛物线.

性质3已知抛物线y2=2px(p ＞0).设A,B是抛物线上异于P(0,0)的两点,且点Q(x0,0)在线段AB上,其中x0＞0,直线PA,PB的斜率之积为定值.

结论2已知抛物线y2=2px(p ＞0).设A,B是抛物线上异于P(0,0)的两点,且点Q(x0,0)在线段AB上,其中x0＞0,直线PA,PB分别交直线y=k0x+m(k0/=0,m/=0)于C,D两点,则|CD|有最小值.

三、变式探究

(1)证明直线PA,AB,PB的斜率成等差数列;

设计意图例2 依然是例1 中的椭圆方程,第(1) 问是常规的定值问题,体现的是性质2 的结论,简单考查了直线代入椭圆方程的一般计算步骤,同时也为第(2) 问计算奠定基础,减少运算量.根据推论中的计算过程,可求得k=例3 中改变了椭圆的方程与直线方程,命题立意与前文的探究结论保持一致,若设直线AB:y=kx,那么且

例4(2013 年浙江文科卷) 已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1).

(1)求抛物线C的方程;

(2)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l:y=x-2 于M、N两点,求|MN|的最小值.

说明抛物线C的方程为x2=4y;|MN|的最小值为.该题是结论2 中的参数特殊化,与例1 是一对不同曲线背景的姊妹题.

4 结语

基于核心素养的考试命题与教师专业素养的提升都离不开对高考试题的探究.从探究高考试题的结论出发进行命题与解题教学,既能把握命题逻辑的正确性,也能调整计算结果的简洁性,还能保证解题方法的可迁移性,是实现“迁移数学知识,类比解题方法,帮助学生从具体的数学情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系,积累从具体到抽象再到具体活动经验”的有效途径,更能从数学的本质出发,呈现知识的生成过程,真正意义上指导教学与复习备考.