谈立体几何复习备考的七个解题意识

安徽省芜湖市第一中学;新青年数学教师工作室(241000) 刘海涛

纵观近些年的高考题及各级各类模考题,立体几何一般稳定在一选一填一解答,分值约占总分的15%,主要考查空间几何体的结构、表面积、体积,空间中点、线、面的位置关系,空间中角与距离等知识.由于立体几何问题能有效考查学生的直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析、数学运算、数学抽象等数学核心素养,已成近些年高考的一大亮点和热点,常考常新,且常以数学文化或实际问题为背景命题,情境新颖,题干冗长,学生往往不易读懂题意,难以将实际问题抽象成数学问题,解决此类问题首先需要读懂题目所叙述的实际情境或文化背景,抽象出空间几何体所属模型,最后利用函数、不等式(组)、方程(组)、数列、平面几何的动点轨迹等知识解答.因此,在立体几何的复习中,必须强化阅读理解意识、模型意识、函数意识、不等式意识、方程(组)意识、数列意识及动点轨迹意识.下面通过七道典型例题,浅谈以上七个意识的重要性,以供读者备考参考[1].

1 阅读理解意识

以数学文化或实际问题为背景命制的立体几何问题,通常题目文字叙述较长、数据较多,需要考生具有良好的阅读理解、数据分析及数学抽象概括能力,审题时要把握好题目的关键条件、注意挖掘隐含信息.

图1-1图1-2

例1我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图1-1) 放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图1-2),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等,即

由曲线x=4,x=-4,x2=4y,x2=-4y围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1,满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4 的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则()

解析如图1-3,两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8 的平行平面之间,用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点距离为|y|,则截面面积S1=π(42-4|y|),S2=π(42-y2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S1=S2,由祖暅原理知,两个几何体体积相等,故选C.

图1-3

评注解答该题的关键是读懂题意,对于不知体积公式的几何体,通过构建同高等底半径的圆柱且内部挖去适当的圆锥的空间几何体,通过计算得到高相等时截面面积相等,根据祖暅原理得到待求几何体的体积.由题意可得两旋转体夹在两相距为8 的平行平面之间,用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点距离为|y|,求出所得截面的面积相等,利用祖暅原理知,两个几何体体积相等.读取并理解题中的关键信息(祖暅原理),问题即可顺利求解.本题考查了学生分析问题、解决问题的能力,体现了直观想象、数学建模、数学运算等数学核心素养.

2 模型意识

在解决立体几何问题时,对于题中所给的具有特殊条件的空间几何体,往往我们可以借助特殊空间几何体予以分析,如对于求空间几何体的外接球问题,对于满足三条棱两两垂直或三组对棱分别相等的三棱锥,我们可以将其定点放入符合条件的长方体中,用长方体模型求其外接球.在复习备考中,我们要熟记一些特殊的空间几何体模型,解题时尝试用特殊模型帮助分析往往可简化解题过程,达到事半功倍的效果.

评注该题有效地考查了数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养,若用几何法找球心再求半径,则过程复杂,运算量大,而根据正四面体的几何特征,将其放入正方体模型中考虑外接球问题,思路自然流畅,解答过程简捷易懂.对于空间几何体的外接球,常见的解题模型有:三棱锥墙角模型、对棱相等模型、垂面模型、“斗笠”模型、折叠模型、面面垂直模型、矩形模型、二面角模型.限于篇幅,这里不再举例,读者可以查阅相关资料.

3 函数意识

立体几何题中,在解决有关求值(最值、范围等)问题时,通常要选取变量(角度、线段长度、线段比值等)构建函数关系式,将问题转化为求函数值(最值、值域等),这正体现了解立体几何题的函数意识.

例3颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图2-1 所示,现在我们通过DⅠY 手工制作一个六角锥吊坠模型.准备一张圆形纸片,已知圆心为O,半径为10cm,该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O,A1,B1,C1,D1,E1,F1为圆O上的点,如图2-2 所示.ΔA1AB,ΔB1BC,ΔC1CD,ΔD1DE,ΔE1EF,ΔF1FA分别是以AB,BC,CD,DE,EF,FA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DE,EF,FA为折痕折起ΔA1AB,ΔB1BC,ΔC1CD,ΔD1DE,ΔE1EF,ΔF1FA,使A1,B1,C1,D1,E1,F1重合,得到六棱锥,当底面六边形的边长变化时,所得六棱锥体积的最大值为____cm3.

图2-1

图2-2

图2-3

评注该题有效考查了空间想象、逻辑推理和数学运算能力,考查了空间几何体的结构、体积等知识.由于本题中六棱锥底面正六边形边长不定,涉及六棱锥体积最大值的求解,我们需利用某一变量表示出所求体积,故考虑将问题转化为函数最值的求解问题;本题中因涉及平面几何,结合题目的设问“当底面六边形的边长变化时”,故采用设底面六边形的边长为变量,得到体积V=接着借助导数判断单调性求出最大值.

4 不等式意识

立体几何题中,在遇到求取值范围(最值),比较大小、证明不等关系等问题时,除了构建函数关系式解题,有些时候借助不等式(组)能更快的解决问题,这便是立体几何题中的不等式(组)意识.

例4如图3-1 所示,正方形ABCD的边长为2,切去阴影部分后,剩下的部分围成一个正四棱锥,则正四棱锥的侧面积的取值范围为____.

图3-1

图3-2

评注该题有效考查了空间想象、逻辑推理和数学运算能力,考查了正四棱锥的结构、侧面积等知识.解答的关键在于恰当的选取一个量作为变量表示正四棱锥的侧面积,为了与例3 的解答稍作区分,上述解答中选择侧面三角形的底角做自变量表示出侧面积,接着利用基本不等式求出范围,事实上该题也可选择以底面正方形边长为自变量构造函数,当然例3 也可以题中六棱锥侧面三角形的底角为自变量解题.

5 方程(组)意识

立体几何题中,有些已知线面角或二面角大小,探究点的位置关系或线段长度问题,因涉及到一个或多个变量,无法建立函数关系时,可以通过方程(组)建立相应关系,再根据题意进行解答,这就是解答立体几何时的方程(组)意识.

例5已知在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD是边长为4 的正方形,ΔPAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.

(1)求证:PO⊥平面ABCD;

(2)线段PB上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为,若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由.

解析(1)略;

图4

评注利用法向量求解有关空间线面角的问题关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.该题已知线面角大小,探究点M在线段PB上的位置,可通过设用变量λ表示出线面角,从而解出λ的值,体现了立体几何计算中的方程意识.

6 动点的轨迹意识

立体几何问题中,有些球的外切问题随着相切球数量的增加,半径呈现为关于n的数列表达式,且根据题意可以得到其递推关系式及首项,将问题转化为数列问题处理,通过研究数列得到答案,这便是立体几何问题中的数列意识.

例6 已知三棱锥A-BCD的棱长均为6,其内有n个小球,球O1与三棱锥A-BCD的四个面都相切,球O2与三棱锥A-BCD的三个面和球O1都相切,如此类推,…,球On与三棱锥A-BCD的三个面和球On-1都相切(n≥2,n ∈N*),则球On的表面积等于_____.

图5

评注本题考查了球与面、球与球相切问题等知识,考查了学生逻辑推理、空间想象、转化与化归等数学思想方法.解答该题的关键在于,根据题意得到相邻两球的半径关系为rn+1=2rn,得到等比数列{rn},从而顺利解题.

7 动点的轨迹意识

立体几何问题中,对于一些与动点有关的取值范围或最值问题,若能从平面解析几何角度分析,得出动点的轨迹方程,则可以将空间问题平面化,数形结合直观得出答案,这便是立体几何问题中的动点的轨迹意识.

例7如图6-1,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB//CD,AB⊥AD,AB=3,CD=AD=6,若动点Q是平面PAD内的动点,使得∠CQD=∠BQA,则四棱锥Q-ABCD的体积最大值为____.

图6-1

图6-2

评注解答该题的关键是得到QD=2QA后,在平面PAD内,从平面解析几何的角研究动点Q,建立直角坐标系求出Q点轨迹是圆(x-3)2+y2=8,实质为隐圆问题[2-3],从而数形结合直观得出点Q到DA的距离最大为4,即四棱锥Q-ABCD的高的最大值为4.