圆锥曲线中一类面积为定值问题的探究

江苏省常州市第二中学(213000) 王强

《数学通报》2022年第6 期“数学问题解答”第2662 号问题如下:

问题如图1,设E1:m(n >m >0),在E1上取一点D(x0,y0),向E2取作两切线,切点为A,B,证明:∆DAB上的面积为定值.

图1

问题给出了具有相同离心率的两个共轴椭圆的一个美妙结论,文[1]中利用解析法证明了这一结论,即∆DAB上的面积为定值那么共轴同率椭圆(双曲线、抛物线)还有类似的面积为定值的结论吗? 笔者对此进行了研究,借助GeoGebra 软件先直观呈现再推理论证,得到了更多类似的面积为定值的结论,整理出来与读者共享.

性质一如图2,设E1:m(n >m >0),在E1上取一点P向E2取作两切线,切点为A,B两切线与E1分别交于C,D两点,则∆PCD的面积为定值.

图2

由文[2]中的性质一和性质四可得点A,B分别为线段PC,PD的中点且AB//CD,则∆PCD的面积为∆PAB面积的4 倍,结合图1 中的结论可得定值.

性质二如图3,设E1:m(n >m >0),过E2上任一点P引E2的切线交E1于A,B两点,则∆ABO的面积为定值.

图3

由文[2]中的性质三可得性质一中∆ABO的面积为定值.

性质三如图4,设E1:m(n >m >0),过E2上任一点P引E2的切线交E1于A,B两点,设E1上A,B两点处的切线交于点C,则∆ABC的面积为定值.

图4

证明设P(x0,y0)(y00)是E2上任意一点,A(x1,y1),B(x2,y2),则切线AB的方程为将其与椭圆方程联立消去y得

因为切线AC及切线BC的方程分别为

设切线AC与BC的交点C(x3,y3),联立②③可得x3=再求点C到直线AB的距离因为

则∆ABC的面积为又当y0=0 时,综上所述,∆ABC的面积为定值.

注在性质三的推理论证中还意外收获一个美妙结论,即交点C的轨迹方程为,表示交点C始终在另一个共轴同率的椭圆上.

性质四如图5,设E1:m(n>m>0),在E2上取一点P,向E1取作两切线,切点为A,B,两切线与E2分别交于C,D两点,则∆PAB的面积为定值.

图5

性质四和下面的性质五、性质六,可以参照性质三的证明过程进行论证,此处从略.

如图(5),由文[2]知共轴同率双曲线具有性质切点A,B分别是PC,PD的中点,再结合性质四可得到∆PCD的面积为定值.

性质五如图6,设E1:m(n >m >0),过E1上任一点P引E1的切线交E2于A,B两点,则∆ABO的面积为定值.

图6

性质六如图7,设E1:m(n >m >0),过E1上任一点P引E1的切线交E2于A,B两点,设E2上A,B两点处的切线交于点C,则∆ABC的面积为定值.

图7

利用GeoGebra 动态数学软件进一步探索,笔者发现共轴同距(对称轴相同、焦点到准线的距离相同)的两抛物线也有类似的面积为定值的性质.

性质七如图8,设E1:y2=2px,E2:y2=2px+m(p >0,m >0),在E2上取一点P,向E1取作两切线,切点为A,B,两切线与E2,分别交于C,D两点,则∆PAB的面积为定值.

图8

证明设P(x0,y0)是E2上任意一点,A(x1,y1),B(x2,y2),则切线AB的方程为yy0=p(x+x0). 将其与y2=2px联立并消去x得y2−2y0y+ 2px0=0,因为所以AB=因为点P到直线AB的距离所以∆PAB的面积为.

推论如图8,设E1:y2=2px,E2:y2=2px+m(p>0,m >0),在E2上取一点P,向E1取作两切线,切点为A,B,两切线与E2分别交于C,D两点,则∆PCD的面积为定值.

证明设A(x1,y1),B(x2,y2),则点A处的切线方程为yy1=p(x+x1),由消去x得y2−2y1y+2px1−m=0.设C(x3,y3),P(x0,y0),由韦达定理得y0+y3=2y1,所以点A为线段PC的中点.同理可得点B为线段PD的中点,则线段AB是∆PCD的中位线,从而∆PCD的面积为∆PAB的面积的4 倍,结合性质七推论得证.

以下两个性质的证明可类比前面的方法,此处从略.

性质八如图9,设E1:y2=2px,E2:y2=2px+m(p >0,m >0),过E1上任一点P引E1的切线交E2于A,B两点,设E2上A,B两点处的切线交于点C,则∆ABC的面积为定值.

图9

经过GeoGebra 辅助验证发现,多个共轴同率椭圆(双曲线、抛物线)也有类似的面积为定值的结论,如性质九.

性质九如图10,设在E1上取一点P向E2取作两切线,切点为A,B,过点P向E3取作两切线,切点为C,D,则P,A,B,C,D,O这六个点中任意三个不共线的点构成的三角形的面积均为定值.

图10

共轴同率椭圆、双曲线和共轴同距抛物线一定还有很多优美的性质等待我们去探究,本文仅当抛砖引玉.