圆锥曲线的相交弦定理及其推广

北京师范大学贵阳附属中学(550081) 李鸿昌

1.圆锥曲线的相交弦定理

通常的相交弦定理是指:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段的积相等.通过类比,可得到圆锥曲线的相交弦定理.

命题1(椭圆的相交弦定理)如图1,设P是椭圆

图1

证明椭圆Γ 经仿射变换得到单位圆x′2+y′2=1(图2),而在单位圆中,有由仿射变换的性质知,在椭圆Γ 中成立.

图2

命题2(双曲线的相交弦定理)如图3,设P是双曲线外一点,过P作双曲线的切线PA,PB,切点为A,B.若CD是平行于PA的任一弦,EF是平行于PB的任一弦,且CD交EF于G,则.

图3

注可以把双曲线看成“虚椭圆”由命题1 知命题2 成立(详见文[2]).

命题3(抛物线的相交弦定理)设P是抛物线y2=2px(p >0)外一点,过P作抛物线的切线PA,PB,切点为A,B.若CD是平行于PA的任一弦,EF是平行于PB的任一弦,且CD交EF于G,则.

命题3 的证明留给读者.再进一步推广,便得到圆锥曲线相交弦定理的推广以及更一般的情形.

2.圆锥曲线相交弦定理的推广

命题4如图4,设椭圆Γ:的左焦点为F,直线l在椭圆左侧且垂直于x轴,P,Q是l上两点,使得FP=FQ.过P,Q各作一直线,它们分别交椭圆Γ 于A,B和C,D,且AB交CD于S(S在Γ 内),则.

图4

证明由FP=FQ可设P(x0,y0),Q(x0,−y0),则直线PB,QD的参数方程分别为

将①式代入椭圆方程,整理得

由题意,PA,PB是③式的两个根t1,t2,所以PA·PB=同理,将②式代入椭圆方程,可得因此

设S(x1,y1),由题意,直线AB,CD的参数方程分别为

将⑤式代入椭圆方程,整理得

由题意,SA,SB分别是⑦式的两个根t5、t6,所以SA·SB=同理,将⑥式代入椭圆方程,可得因此

注在双曲线和抛物线中也有类似的结论.若去掉条件“FP=FQ”,则得到圆锥曲线相交弦定理的一般情形.

3.圆锥曲线相交弦定理的一般情形

命题5如图5,设椭圆的左焦点为F,左准线为l,P,Q是l上两点.过P,Q各作一直线,它们分别交椭圆Γ 于A,B和C,D,且AB交CD于S(S在Γ 内),则.

证明类似于命题4,设P(x0,y0),Q(x0,y2),F(−c,0),其中由命题4 的证明过程可得由此得

证

命题6如图6,设双曲线Γ:0)的左焦点为F,左准线为l,P,Q是l上两点.过P,Q各作一直线,它们分别交双曲线Γ 于A,B和C,D,且AB交CD于S(S在Γ 内),则

图6

注可以把双曲线看成“虚椭圆”由命题5 知命题6 成立.

命题7设抛物线Γ:y2=2px(p >0)的焦点为F,准线为l,P,Q是l上两点.过P,Q各作一直线,它们分别交抛物线Γ 于A,B和C,D,AB交CD于S(S在Γ 内),则.

命题7 的证明留给读者.

如今,变换的基本观点和基本思想为中学数学教学,特别是解析几何的教学提供了十分有益的启示.变换的基本观点和基本思想的引进是对高中数形结合思想的进一步提升,它联系了圆与圆锥曲线的关系,对于解析几何问题的解决来说,一切都变得简单而又自然.