椭圆中关于最值问题的几个结论

山东省邹平双语学校(256200) 姜坤崇

椭圆由于是封闭曲线,因此由它产生的最值问题很多,本文给出椭圆中的几个(一类)最值问题的结论,并通过整体换元的方法转化为求二次或一次函数最值的方法给以证明.

命题1给定椭圆E:M(m,0)(−a 证明(1)当m=0 即点M为原点时结论显然成立.

(2)当m ̸=0 时,如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1y2<0),由直线l过点M(m,0)可设其方程为x=ty+m(t为参数,t的倒数为l的斜率),代入E的方程整理得

图1

由于y1、y2是关于y的二次方程①的两个实根,则由韦达定理得

由两点间的距离公式,考虑到x1=ty1+m,x2=ty2+m,并将②、③式整体代入得

命题2给定椭圆E:M(m,0)(m≥0,m ̸=a)是x轴非负半轴上的一定点,过M引直线l交E于不同的两点A、B.

(1)若0 ≤m

(2)若m>a,则当l与x轴重合时|MA|·|MB|取得最大值m2−a2.

证明设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=ty+m(t为参数),则同命题1 的证明一样得到③式.而x1=ty1+m,x2=ty2+m,所以同理,于是由③式得.

(1)若0 ≤m

(2)若m>a,设当l与E相切时对应的斜率为k1,对应的则由得从而0

综合(1)、(2),命题2 得证.

命题3给定椭圆E:M(m,0)(m≥0,m ̸=a)是x轴非负半轴上的一定点,过M引直线l交E于不同的两点A、B.

(1)若0 ≤m

(2)若m >a,则当l与x轴重合时|MA|2+|MB|2取得最大值2(a2+m2).

证明当m=0(即点M在原点)时易得结论:当l与x轴重合时|MA|2+|MB|2取得最大值2a2,当l与x轴垂直时|MA|2+|MB|2取得最小值2b2.以下设m>0.

设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l的方程为x=ty+m,同命题1 的证明一样得到①、②、③式.又x1=ty1+m,x2=ty2+m,所以由②、③式可得

(1)若0(2)若m>a,设当l与E相切时对应的斜率为k1,对应的则由从而0a及2a2+c2>3c2可得(2a2+c2)m2>3a2c2,所以所以f(v)在上为减函数,所以即2(a2+m2).

又当l与x轴重合时可求得|MA|2+|MB|2=2(a2+m2),故当l与x轴重合时|MA|2+|MB|2取得最大值2(a2+m2).

综合(1)、(2),命题3 得证.

命题4 给定椭圆E:M(m,0)(m≥0,m ̸=a)是x轴非负半轴上的一定点,过M引直线l交E于不同的两点A、B.

(4)若m>a,则当l与x轴重合时取得最大值.

证明仿命题2、3 的证明分别得,所以

又当l与x轴重合、垂直时易分别可求得故当l与x轴重合时取得最小值当l与x轴垂直时取得最大值;

(II)当m >a时,设当l与E相切时对应斜率的倒数为t1,则由得令则由−(a2+b2)m2+a2c2<−2a2b2<0 知f(u)在(0,u1)上为减函数,所以f(u1)

综合(I)、(II),命题4 得证.

命题5给定椭圆E:M(m,0)(m≥0,m ̸=a)是x轴非负半轴上的一定点,过M引直线l交E于不同的两点A、B.

(1)若0 ≤m

(2)若m=c(即点M为E的焦点),则为定值;

(3)若c(4)若m>a,则当l与x轴重合时取得最大值.

证明仿命题2、4 的证明分别可得,|MA| · |MB|=

(I)当0 ≤m

(i)当m=c时,c2−m2=0,此时为定值为定值;

(ii)当m ̸=c时,c2−m20,由及t2≥0可得0

(1′)若0 ≤m

而当l与x轴重合、垂直时易分别可求得故当l与x轴垂直时取得最大值当l与x轴重合时取得最小值;

(2′)若c (II)当m>a时,⑨式可化为