对一道直线与圆相切试题的探究

北京市第十二中学(100071) 赵毅 刘刚

1.试题

题目(22 届九师联盟12月质量检测河北卷)已知椭圆C:的离心率为,它的短轴长为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点M,N在x轴上,过椭圆C上一点作直线PM,PN分别交椭圆C于另一点S,T,若|PM|=|PN|,求证:∆PST的外接圆与过点P的直线l:x+2y−4=0 相切.

试题考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与圆和椭圆的位置关系,考查了直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.试题构思巧妙,内涵丰富,体现了在知识交汇处命题的特点.第(1)问求得椭圆C的方程为;第(2)问根据已知条件得到直线PS,PT的斜率互为相反数,而直线l:x+2y−4=0 是椭圆C在点P处的切线.将试题一般化,是否也有相应的结论呢? 经过探究,并类比双曲线、抛物线,得到了下面一组性质.

2.推广探究

性质1已知点P在椭圆C:上,过点P引两条斜率分别为k1,k2的直线PS,PT,与椭圆C分别交于另一点S,T,设椭圆C在点P处的切线为l,若k1+k2=0,则∆PST的外接圆与l相切.

证明设∆PST的外接圆的圆心为Q,下面仅考虑直线PQ,l的斜率都存在的情形.设P(m,n),则PS的方程为y−n=k1(x−m),与椭圆C的方程联立,得设S(x1,y1),PS的中点为E(x0,y0),则,所以线段PS的中垂线方程为

又k1+k2=0,将k1换为−k1,同理,得线段PT的中垂线方程为

性质2已知点P在双曲线C:0,b >0)上,过点P引两条斜率分别为k1,k2的直线PS,PT,与双曲线C分别交于另一点S,T,设双曲线C在点P处的切线为l,若k1+k2=0,则∆PST的外接圆与l相切.

性质3已知点P在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过点P引两条斜率分别为k1,k2的直线PS,PT,与抛物线C分别交于另一点S,T,设抛物线C在点P处的切线为l,若k1+k2=0,则∆PST的外接圆与l相切.

证明设∆PST的外接圆的圆心为Q,下面仅考虑直线PQ,l的斜率都存在的情形.设P(m,n),则PS的方程为y−n=k1(x−m),与抛物线C的方程y2=2px联立,得k1y2−2py+ 2p(n−mk1)=0.设S(x1,y1),PS的中点为E(x0,y0),则所以线段PS的中垂线方程为

又k1+k2=0,将k1换为−k1,同理,得线段PT的中垂线方程为

3.逆向探究

性质4已知点P在椭圆C:上,过点P引两条斜率分别为k1,k2的直线PS,PT,与椭圆C分别交于另一点S,T,设椭圆C在点P处的切线为l,若∆PST的外接圆与l相切,则k1+k2=0.

证明设∆PST的外接圆的圆心为Q,下面仅考虑直线PQ,l的斜率都存在的情形.设P(m,n),则PS的方程为y−n=k1(x−m),与椭圆C的方程联立,得设S(x1,y1),PS的中点为E(x0,y0),则所以线段PS的中垂线方程为即

其中c2=a2−b2.同理,得线段PT的中垂线方程为

化简,得mna2b2(k1+k2)2+(k1+k2)(n2a4k1k2+m2b4)=0,即(k1+k2)(na2k1+mb2)(na2k2+mb2)=0.因为直线PS,PT与l不重合,所以(na2k1+mb2)(na2k2+mb2)̸=0,故k1+k2=0.

性质5已知点P在双曲线C:0,b >0)上,过点P引两条斜率分别为k1,k2的直线PS,PT,与双曲线C分别交于另一点S,T,设双曲线C在点P处的切线为l,若∆PST的外接圆与l相切,则k1+k2=0.

性质6已知点P在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过点P引两条斜率分别为k1,k2的直线PS,PT,与抛物线C分别交于另一点S,T,设抛物线C在点P处的切线为l,若∆PST的外接圆与l相切,则k1+k2=0.

证明设∆PST的外接圆的圆心为Q,下面仅考虑直线PQ,l的斜率都存在的情形.设P(m,n),则PS的方程为y−n=k1(x−m),与抛物线C的方程y2=2px联立,得k1y2−2py−2p(k1m−n)=0.设S(x1,y1),PS的中点为E(x0,y0),则,所以线段PS的中垂线方程为,即

同理,得线段PT的中垂线方程为

联立⑦⑧,得

化简,得np(k1+k2)2=n2k1k2(k1+k2)+p2(k1+k2),即(k1+k2)(nk1−p)(nk2−p)=0.因为直线PS,PT与l不重合,所以(nk1−p)(nk2−p)̸=0,故k1+k2=0.

将上述性质进行整合,得到圆锥曲线的一个统一性质:

性质7已知点P在圆锥曲线C上,过点P引两条斜率分别为k1,k2的直线PS,PT,与圆锥曲线C分别交于另一点S,T,设圆锥曲线C在点P处的切线为l,则∆PST的外接圆与l相切的充分必要条件是k1+k2=0.