化动为静 以静御动——一类“多动态向量”综合题的解题策略

上海南汇中学(201399) 宋 磊

1 引言

高考对向量的考查主要有三个层面: 知识层面,直接考查向量的线性运算、数量积、垂直或平行关系、基底、模与夹角等;方法层面,重点考查数形结合、转化与化归、分类讨论、函数与方程等思想方法;素养层面,主要考查数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养.

由于向量是沟通代数与几何的有力工具,因此向量问题的解决途径一般有两个: 一是几何法,通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面几何问题;二是代数法,从向量的线性运算、数量积、平面向量基本定理以及坐标表示等方面思考,将问题转化为代数中的有关问题解决.笔者认为,平面向量对学生而言之所以难,是难在向量的本质: 向量是自由的,可以随意移动,动态性很强.当题目中出现动态向量较多或动点较多时,“化动为静、以静御动”才是解决此类向量问题最关键的一步,本文将剖析这类问题,探究解题策略.

2 典例分析

例1设a,b,c是同一平面上的三个两两不同的单位向量.若(a·b):(b·c):(c·a)=1:1:2,则a·b的值为____.

解方法1: 设a=(1,0),b=(cosα,sinα),c=(cosβ,sinβ),由a·b=b·c得cosα=cos(α−β),由a,b,c互不相同,不妨取−α=α−β,故β=2α,c=(cos 2α,sin 2α),由a·c=2b·c,得cos 2α=2 cosα,即2cos2α −1=2 cosα,故cosα=即a·b=

方法2: 设b=(1,0),则由a·b=b·c得b⊥(a −c),从而a与c关于x轴对称,设a=(cosα,sinα),则c=(cosα,−sinα),a·c=cos2α −sin2α=cos 2α=2b·c=2 cosα,故cosα=即a·b=

评析a,b,c是三个动向量,同学们对此感到晕头转向.现考虑将其中一个动向量固定,则使题目难度大大降低.方法1中,将a固定,根据单位圆设出b,c,通过坐标法运用代数运算找出b与c的关系,从而得解.解法2 将b固定,通过几何特征找出a与c的关系,从而得解.两种方法都是化动为静,用坐标法加以解决.

例2设P是双曲线x2−=1 上的动点,直线(t为参数)与圆C:(x −3)2+y2=1 相交于A、B两点,则的最小值是____.

解将直线参数方程化为普通方程后得知,该直线表示恒过M(3,0)的一条直线.双曲线

图1

的焦点及圆C的圆心都是M(3,0),如图1.

因此,问题转化为双曲线上任一点P到焦点M(3,0)的最短距离,根据双曲线的性质,=2,由 此 可 得

评析本题P,A,B均是动点,通过中点向量将动点A,B转化为静点M,从而减少了动点个数,再结合几何背景将问题解决.本题利用中点向量的转化过程也称为极化恒等式.在解决向量问题时,我们甚至可以将题设背景固定,如例3.

例3已知A,B,C是半径为5 的圆Q上的点,若的取值范围是____.

解方法1: 如图2,将圆心固定在原点,设圆方程为x2+y2=25.由=6,半径r=5,取BC中点M,连结OM,则|OM|=4,因此点M的轨迹是以(0,0)为圆心,4 为半径的圆.同例2,利用极化恒等式,得

图2

图3

方法2: 如图3,将点B,C固定,设B(−3,4),C(3,4),圆Q:x2+y2=25.设点A(5 cosα,5 sinα),则

由sinα∈[−1,1],得

评析本题将圆Q的圆心固定在原点O增加了同学们的解题信心.在方法2 中,根据=6,化两个动点为两个定点,使问题变得更加容易.

例4设ΔABC的内角为A,B,C,其中G为ΔABC的重心,且则cosC的最小值是____.

解方法1: 采用坐标法.将点A固定,如图4.

设点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),则重心得,

化简得bccosA=b2−2c2,由此可得cosA==所以a2+b2=5c2,从而cosC=当且仅当a=b取等号.

评析方法1 将点A固定后,采用坐标法,利用三角形的重心坐标公式,结合余弦定理和基本不等式使问题得以解决;方法2 采用了平面向量基本定理,采用转化基底法达到目的.

例5已知A,B,C是边长为1 的正方形边上任意三点,则的取值范围是______.

解如图5,易得

当A为正方形的顶点时,最小值仅能取到0; 当A在正方形的边上时,显然当B在A所在边顶点时,才会取得更小的值.如图6,将点A定在正方形的底边位置上,根据向量数量积的几何意义(投影)得到故=−x(1−x)=x(x−1)=当即A为底边中点时,

图5

图6

评析本题主要难度在于动点较多,思路是先定点A(注意分类标准的建立),再考虑另外两个点的运动变化情况.不失一般性,将动点A定在正方形底边位置考虑大大减少了讨论的情况.

例6已知平面向量a、b、c满足|a|=|b|=1,a·b=0,则|a+b −c|+2|c −b|的最小值为____.

解设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),由得,

表示点C(x,y)到点D(1,1)距离与C(x,y)到点B(0,1)的距离的两倍之和.故本题转化为求|CD|+2|CB|的最小值.如图7,连结AC、AD,取点连结CE,则

图7

ΔCEA与ΔDCA相似,所以

当B,C,E三点共线时取到等号.

评析本题动态向量太多,令人眼花缭乱.根据条件,将a,b设为基本单位向量后,求得c表示的运动轨迹,利用所求值的几何意义,通过构造阿波罗尼斯圆求出.本题将向量所具有的“数的严谨性”与“形的直观性”展现的淋漓尽致.

结语以上几例向量问题除了都具有一定的综合性、灵活性和解法的发散性等特点外,还有一个共同的特点: 动态向量较多.通过“化动为静、以静御动”的解题策略,再依据代数运算与几何推理相结合,直接运算和转化运算相结合,坐标形式与符号形式相结合,基底分解与向量合成相结合等处理方式,问题从而迎刃而解.