立体几何教学中培养学生逻辑推理素养的探究

广东省广州市第五中学(510288) 王 轲

数学是自然科学的重要基础,在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.因此,数学是每个人从小就开始必修的主课,数学素养也是现代社会每个人应该具备的基本素养.曾经有一所“985”院校给高考平均分在125 分以上的学生做了一个实验:入学后的10月份再来做一次高考题目的测试,平均分降到了100分左右;到同年的12月份再组织一次,平均分居然只是及格.表面上看,这是学生对过往知识的正常遗忘,实际上反映出之前高中教学没有真正教学生学习数学的能力.作为数学教师,要认真反思,除了教给学生数学的知识,更重要的是要培养学生的数学素养,特别是数学学科核心素养.

2017年版《普通高中数学课程标准》指出:“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.”

这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融,是一个有机整体.其中逻辑推理素养是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证和重要体现,是人们在进行数学活动的基本思维品质.通过高中数学课程的学习,旨在使学生能够掌握逻辑推理的基本形式,学会有逻辑的思考问题;能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神.立体几何以其独特的知识特点,特别是线面关系的逻辑推理和演绎论证在培养学生思维严谨、推理严密方面有明显的优势,所以通过立体几何的课堂教学来培养学生的逻辑推理核心素养,具有重要的意义.

立体几何在高考中占据重要地位.通过对近几年高考情况的分析,考查的重点稳定在直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的性质和判定上;难度上也始终以中等偏难为主.在新课标标准下,立体几何的教学重点由原来的要求学生掌握立体几何的知识,转变为要培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力.作者从以下五个方面就如何在立体几何的课堂教学中培养学生的逻辑推理核心素养做了初步探索.

1 图形、符号表示方面

众所周知,立体几何的学习离不开图形和符号,其中的点、线、面、体,包括他们之间的属于、包含、平行、垂直等关系,都可以通过图形和符号表示出来,一方面可以简化文字语言描述,另一方面可以更直观地表现它们之间的关系.

因此,在立体几何的教学中,要重视文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化,引导学生及时地将文字条件转化为图形条件和符号表示,在图形中进行条件和结论的标识,更直观地帮助学生进行条件的分析和结论的证明.例如,在平常的教学中,我们可以设计如下的表格来引导学生将所学的定理、定义等进行三种语言的互相翻译,甚至可以滚动训练,从而达到学生对这些知识熟练掌握,并且提高他们对定理的理解和记忆的目的.同时,对学生规范答题也有很好的帮助作用,学生在上述练习的过程中,已经是一个图形——符号——文字的循环翻译过程,学生在此过程中不断强化三种语言的互化和逻辑推理的严密性.

定理文字语言图形语言符号语言线面平行的性质线面平行的判定面面平行的性质面面平行的判定线线垂直的判定线面垂直的性质线面垂直的判定面面垂直的性质面面垂直的判定

2 化归与转化思想方面

化归与转化思想是数学思想方法中极为重要的一种,可以帮助我们快速、高效地解决数学问题.在立体几何的学习中也占有十分重要的地位,起着关键性的作用,主要体现在以下几个方面:

第一,上面所探索的文字语言、图形语言、符号语言之间的互相转化就是化归与转化思想的体现.从定义、定理到问题都是以文字语言的形式呈现出来,需要我们先把他们转化为相应的图形和符号语言,这是学习立体几何,培养逻辑推理素养的入门要求,是必不可少的!

第二,空间问题与平面问题的互化.我们都知道“点动成线,线动成面,面动成体.”所以,在研究立体几何中的空间问题时,我们往往需要把空间问题转化成平面问题,通过降低维度来降低难度.

第三,位置关系的转化.这一类的转化比较多地体现在证明线线、线面、面面的位置关系问题上.解决这些问题,我们经常借助于“线线⇔线面⇔面面”平行和判定的三级互化,在这一部分的训练中,可以引导学生画如下的思维导图,执因索果,由果寻因,从而更好地帮助学生分析问题,寻找解决问题的办法,从而在不知不觉中提高学生的逻辑推理核心素养.例如:

题目如图1,∆ABC是边长为4 的等边三角形,∆ABD是等腰直角三角形,AD ⊥ BD,平面ABC ⊥平面ABD,且EC ⊥平面ABC,EC=2.

图1

(1)证明:DE//平面ABC;

(2)证明:AD ⊥BE.

如图,分析第(2)问时,可借助如下思维导图:

第四,体积问题的转化.在研究几何体体积问题的过程中,遇到不能直接计算的时候,往往需要将问题转化,比如将四棱锥的体积转化成三棱锥的体积,进而通过转换顶点,进行等体积转化,将计算化简.另外,有时在求几何体中点到面的距离问题时,也可以通过等体积转化由繁化简,解决问题.例如:

题目如图2,四棱锥E−ABCD中,四边形ABCD是边长为2 的菱形,∠DAE=∠BAE=45◦,∠DAB=60◦.

(1)证明:平面ADE ⊥平面ABE;

图2

如图,分析第二问时,考虑到底面ABCD是菱形,连结BD可得S∆ABD=S∆BCD,从而进行如下的化归转化:

VE−ABCD⇒2VE−ABD⇒2VD−ABE

将题目难度降低,计算化简.

总之,化归与转化思想解决方法通常是“将立体问题平面化,将三维问题二维化”,可以帮助学生将未知的、不熟悉的转化成已知的、熟悉的知识,将繁杂问题转化为简单问题,进而逐步提高学生逻辑推理核心素养.

3 猜想、验证方面

牛顿曾经说过:“没有大胆的猜想,就作不出大胆的发现.”在教学的过程中,教师应重视引导学生亲身经历猜想—验证—结论的数学探究过程,发展学生自主探究能力与逻辑推理的能力,进一步深化其创造性思维.

经常听到学生说:“这道题之前做过,但问法不同”;“这个几何体经常见啊,但怎么题目又不一样了呢?”这个时候,我们老师可以针对这些常见几何体灵活处理,少给点条件,或者不给出问题,以提供更多的猜想空间,让学生进行几何体的割补变化、对条件进行筛选,提出不同的问题,然后自行解决,这样就大大提高了学生参与课堂的积极性,激发参与添加问题的热情,同时通过这样“自圆其说”的过程,大大提高他们的逻辑推理的严密性.例如:

题目如图3,已知三棱锥D−ABC的四个顶点都在球O的球面上,求球O的表面积.

这个图形对同学们来说是相当熟悉,但在没有给定条件的情况下请他们自行补充条件并求解就有一定难度了.

图3

学生最先猜想出来的是:三棱锥D−ABC是长方体(或正方体)的一个角,即DA ⊥AC,DA ⊥AB,AB ⊥AC,则三棱锥的外接球的直径就是长方体(或正方体)的体对角线;

其次,有学生想到,若改变一个条件呢?即DA ⊥AC,DA ⊥AB,AB ⊥BC,则引导学生学生通过分析将三棱锥补成直三棱柱,再去寻找外接球的球心在侧面ACD所在长方形的对角线交点处;

紧接着有学生就提出,如果没有DA垂直于底面ABC呢?……

同学们猜想、探究、验证的热情被激发出来,既鼓舞了信心,又活跃了课堂探究的氛围,彼此间的质疑和互证又有力地推动了猜想验证的进程,大大培养了学生严密推理的能力.

4 演绎证明方面

演绎是从一般到特殊的推理,演绎证明是运用演绎推理所作的证明.立体几何的证明是高考立体几何考查的重要内容,是学习立体几何不可或缺的重要内容,它对于培养学生的逻辑推理核心素养起着极其重要的作用.但这也恰恰是学生最怕的地方,“没思路!”、“我知道要怎样证,但就是找不到需要的条件!”、“我会证,但我不会写!”这些都是他们挂在嘴边的理由,更不要说即便能写出来,过程啰嗦,不规范也是他们出现的一大问题.因此,在教学中,教师应该从以下几点进行引导:

第一,重视对定理的推理证明.有些教师认为高考不会考定理的证明,所以把定理当成“结论”来教,这恰恰走进误区,违背了新课程标准中“重思维活动过程”的要求.定理的证明是数学思维过程的重要体现,对学生学习立体几何的基本知识,学习立体几何的思维方法提供了很好的示范,在定理推导证明的过程中,力争寻找多种证明方法,提高学生的逻辑推理能力.

第二,重视例题规范解答的示例.在立体几何的证明题中,学生经常出现漏条件、因果不对照、繁琐的问题,因此,在教学过程中,教师必须对证明或求解的过程进行必要的、规范的、逻辑严密的、简洁明了的书写示范,引导学生进行模仿,并逐步独立完成,形成严密的逻辑推理能力,提高核心素养.

第三,重视学生对线面垂直、平行的性质和判定定理之间的相互推导的理解和定理的记忆.进行立体几何的证明时,很多学生是见题忘理,知道应该往什么方向努力,但就是想不起来定理的条件,导致不会做或做错.因此,在平常的教学中,应要求学生对上述这些定理的推导过程做到滚瓜烂熟,对这些定理的记忆要熟练到随时随地可以提取,这样才能真正做到逻辑严密.

5 及时反思方面

反思是对自己发现问题、分析问题、解决问题的整个思维过程进行再次反刍的过程,是自我验证、自我提升的过程.古人有云:“学,然后知不足,教,然后知困.知不足,然后能自反也,知困,然后能自强也.”由此可见,反思在培养学生逻辑推理核心素养方面的重要性.在反思的过程中注意引导学生对立体几何部分知识和问题进行类型或规律的归纳,比如,虽然题目繁多无序,但常用证明方法有:由因执果的综合法、执果索因的分析法,从命题的反面考虑的反证法;再比如,遇到翻折问题,要注意各个量在翻折前后的变与不变等.同时,在反思的过程中也要重视类比分析,比如立体几何中很多定理、法则都是平面几何在三维空间中的推广,所以它们在解决问题时有很多类似之处,但也要注意它们又有明显的区别.比如:平面几何中有“垂直于同一条直线的两直线平行”,这个定理推广到空间中是错误的,学生恰恰在这个地方经常出错,所以教师要引导学生学会对自己的思维过程不断进行反思,形成新的认识,强化逻辑推理.

综上所述,教师通过上述五个方面的教学实践,能够有效地实现对学生逻辑推理核心素养的培养,逐步使学生形成有理有据、条理清晰、解答简洁、逻辑严密的思维品质,同时,学生具备一定的自我探究、自我反思的能力,初步实现了核心素养的自我可持续发展.但是,在教学实践中,也存在有一些困惑,比如同一个班级的学生学习成绩和学习能力参差不齐,在进行数学训练时会有快有慢,课堂上难以全面兼顾,不过我们相信,只要我们认真去学习和探索,科学地践行新课改的教育教学理念,不断地、有意识地对学生进行引导、点拨,一定能解决我们的困惑,不断提升学生数学核心素养!