基于“1+3”模式分层教学中核心素养的落实——以“抛物线及其标准方程”教学为例

广州大学附属中学(510050) 沈 云

1 引言

《高中数学素养与学业质量标准》(征求意见稿) 指出:“数学核心素养是具有数学特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质.数学核心素养是数学课程目标的集中体现,是学生在数学学习的过程中逐步形成的.数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学核心素养既有独立性,又相互交融,形成一个有机整体.”[1]在新高考新制度下的数学课堂教学中,如何落实数学核心素养的培养,是每位数学教师需要认真思考的.

教学中学生是主体,要提高教学效率,必须发挥学生的主体作用.进行“1+3”模式分层教学,“1”就是将一种基本的知识以一个典例的形式体现,“3”就是将一个重要知识点变式成三种不同的深度和广度让学生接受和理解.在课堂教学中需要对不同层次的学生提出不同的要求,要加强基本概念、基础知识的教学.分层教学可通过分层讲解、分层练习,把数学知识分解为若干个不同层次的数学问题.笔者主要对一节基于“1+3”模式分层教学中数学核心素养的落实——以“抛物线及其标准方程”的教学实录进行整理并简要分析和反思.

2 教学过程分析与课堂实录

教学片断一通过折纸活动,探究抛物线的定义

图1

图2

师:首先,给学生事先准备好的信纸(如图1所示),纸面为纸上有七条平行的线和一条直线垂直交于点A,B,C,D,E,F′,G,在中间的直线d上有一个定点F.然后引导学生进行折纸实验:分别使点A,B,C,D,E,F′,G与点F重合,对应的折痕分别与直线a,b,c,d,e,f,g交于点A1,B1,C1,D1,E1,F′1,G1.请用光滑的曲线把这些点连接起来,得到什么曲线?有没有哪位同学可以展示给大家看看呢?

众生:有点像初中学习过的抛物线.

师:不错,你的动手能力很强!哪位同学可以展示给大家看一下呢?(展示学生的作品.)

通过几何画板来演示:取更多的直线来做这个实验(图2所示),发现非常像抛物线!那也就可以断定我们得到的图像是抛物线.让我们重复一下折纸的过程!让A与点F重合,得到折痕与直线a的交点为A1.大家看看这个折痕是什么线呢?

生:AF的中垂线!

师:那就是说A1是AF中垂线上的点,那么大家考虑一下,这个A1点有什么几何特征呢?

生:AA1=A1F.

师:非常好,大家在看一下,这个A点是不是垂足呢?直线a与直线l交于点A,因此AA1是不是可以看成是点A1到直线l的距离呢?

生:是的!

师:发现AA1到直线l的距离等于它与点F的距离!同样我们来观察B1也具有同样的性质,对应的其他的点也有相应的关系.

师:下面我们用几何画板来还原一下大家刚刚的折纸实验.

师:谁来试试,能否由此从轨迹的角度得到抛物线的定义?

生:到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.

师:很好!但不完美!我们观察一下定点和定直线的位置关系.

生:点在直线外.

师:若点F在直线l上,动点M的轨迹会是什么呢?

生:过点F与直线l垂直的直线.

师:好,抛物线的定义就是:平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.这个定点F叫做抛物线的焦点,而这条定直线叫做抛物线的准线.

设计意图为让学生自己得到抛物线的定义,设计了两个教学活动:一是通过学生动手操作的过程,让学生通过折纸活动得到抛物线的图形,让学生参与到数学活动中.引导学生去发现规律,寻找抛物线的定义,让枯燥单调的定义变得活泼有趣,学生有得到结论的成就感.也让基础薄弱的学生充满了好奇,让他们在数学课堂中变得更有趣!二是教师以几何画板的形式,还原了学生动手实验的过程.这样直观、生动的教学,让学生动态的感受“抛物线的形成”,从而让学生更直观地感受到动点的运动的轨迹.通过两种不同的教学活动的展现,让不同层次的学生对抛物线的定义有了更深的理解.大家通过分析观察,归纳得出了抛物线的定义,强化了具体到抽象、特殊到一般的数学思维过程,从而培养了学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等的数学核心素养.

教学片断二探究抛物线的标准方程

师:同学们,抛物线线上的点M满足到焦点F的距离与到准线l的距离相等.那么动点M的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢?求轨迹方程的首要步骤是建立适当的直角坐标系.

师:大家类比椭圆和双曲线的标准方程的推导过程,我们利用了图形的对称性来确定x轴和y轴的位置.那么对于现在的图形,那我们要如何去建系呢?

教师巡视,有针对性地找了三位学生回答,得到如下三种方法.

方案一方案二方案三images/BZ_25_273_2170_505_2420.pngimages/BZ_25_585_2169_812_2420.pngimages/BZ_25_927_2166_1158_2420.pngy2=2px(p>0)y2=2px+p2(p>0)y2=2px−p2(p>0)

师:请大家在观察一下,后两种建系与第一种的建系有没有什么联系呢?请大家从平移的角度思考.

生:通过图形观察,我发现第二、三两种图像都可以通过第一种图形进行左或右平移个单位得到的.

师:非常好,第二、三两种图像都可以通过第一种图形左右平移得到,因此我们一致认为方案一的建系最好,那么我们就来推导一下方案一中的抛物线的方程.我们可以设点,写出代数关系式,通过化简求出对应的方程.为了方便计算,我们统一规定焦点F到准线l的距离为p >0,那么我们对应的抛物线的准线l:,抛物线的焦点请大家尝试推导对应的方程.

学生动手推导方程,教师巡视指导.

教师板书抛物线的标准方程为:y2=2px(p >0),焦点坐标是准线方程是.

设计意图通过类比的方式,是学生获取知识具有明确的指向;教师通过步步引导学生去回忆,类比已有的学习经历,回顾一般轨迹方程的求法,探讨抛物线轨迹方程.鼓励学生自主探索、大胆预测建立坐标系的方式,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.如何建系体现最优化方案,为求抛物线标准方程做准备,引导学生观察、分析图象,让学生思维上的冲突,在碰撞中找到更恰当的建系方式,通过严谨细致的分析展现知识的发生、发展、形成的过程.培养了学生的数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.

教学片断三探究抛物线标准方程不同形式

师:类比椭圆、双曲线右焦点分别在x轴、y轴上的情形,请通过类比、联想,独立完成下格,并总结概括抛物线的四种形式的共同点.

图形标准方程焦点坐标准线方程images/BZ_25_1322_1693_1582_2031.pngy2=2px(p>0)(p2,0)x=−p2images/BZ_25_1316_2088_1588_2394.pngy2=−2px(p>0)(−p2,0)x=p2images/BZ_25_1316_2482_1588_2701.pngx2=2py(p>0)(0,p2)y=−p2images/BZ_25_1321_2773_1582_2995.pngx2=−2py(p>0)(0,−p2)y=p2

师:根据图表,从定量和定性两个角度总结:一次项定焦点,正负定开口.一次项系数与焦点或准线的数字存在4 倍的关系.

设计意图教师通过让学生类比及数形结合方式写出其他形式的抛物线的标准方程,并引导学生观察、分析图形及抛物线的标准形式,结合抛物线的位置特征和方程形式进行归纳总结其特点,是学生更好地掌握本节的重点内容.总结的目的是为了让基础薄弱的学生能够更准确抓手本节的重难点.也让不同层次的学生得到不同程度的发展.培养了学生逻辑推理、数据分析等数学核心素养.

教学片断四例题讲解,深化理解

例1已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程.

变式训练1-1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.

(3)2y2+5x=0; (4)x2+8y=0.

例2已知抛物线的焦点是F(0,−2),求它的标准方程.

变式训练2-1根据下列条件写出抛物线的标准方程.

(1)焦点是F(3,0);

(3)焦点到准线的距离是2.

(4)求焦点在直线x−2y−4=0 上的抛物线的标准方程.

(5)求顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(−4,−2)的抛物线的标准方程.

设计意图例题是通过抛物线的方程求准线方程和焦点坐标,是典型的知识的考查的题目.通过例题展现需要注意的问题及解题技巧.通过不同题型的变式训练,以“梯”字难度上升.通过“一题多变”,让学生层层挖掘知识点中隐含的信息,使学生把知识点挖掘的更透彻,也让不同层次的学生得到发展.培养了学生的数学运算、逻辑推理、直观想象的数学核心素养.

例3抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离等于9,则M点到准线的距离是____,点M的横坐标是____,点M的坐标是____.

变式训练3-1已知抛物线y2=4x的焦点F,和A(1,1),点P为抛物线上的动点,则|PA|+|PF|的最小值时,点P的坐标为____.

变式训练3-2已知P为抛物线x2=4y上的动点,若P到抛物线的准线l的距离为d,记该抛物线的焦点为F,则d+|PQ|的最小值是____.

例4已知动圆过点(1,0),且与直线x=−1 相切,则动圆的圆心的轨迹是____.

变式训练4-1若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0 的距离小1,则P点的轨迹方程是____.

设计意图通过例题及变式训练,巩固抛物线的定义以及其标准方程,让学生借助“数形结合”的思想更深层挖掘抛物线的信息,从而灵活运用知识.突出本节课的重点;通过“一题多解”培养学生思维的深刻性和发散性,并渗透数形结合思想.

3 教学反思

本节课主要通过折纸游戏,提出合适的探究性问题,明确探究教学任务要求,围绕“抛物线轨迹的发现”——“抛物线标准方程的建立”——“抛物线标准方程的不同形式”.通过具体的折纸游戏让学生直观感知抛物线的轨迹,通过对问题的分析,抽象出抛物线的定义,体现了具体到抽象的数学核心素养.另外,学生构建直角坐标系,探究出抛物线标准方程.这不仅体现了学生数学建模和推理运算的素养,还体现出分析问题时思维的严谨性.数学核心素养的培养具有长期性.数学核心素养的形成是一个渐进的过程,数学知识只是一个载体,教学设计要有渐进性,才能“随风潜入夜,润物细无声.

3.1 注重探究意识,教学学呈现多样化

苏格拉底说:“教育不是灌输,二是点燃火焰”.本文笔者运用了两种方式帮助学生理解抛物线上的点所满足的规律,首先学生通过折纸游戏可以画出抛物线简图、运用软件画抛物线,形象地演示了抛物线这一数学概念的发生、发展过程.借助问题串较好地概括出抛物线的定义.类比椭圆、双曲线的研究过程探究抛物线及其标准方程.这不仅很好地调动了学生的积极性,激发学生的活力,活跃了课堂,让学生爱学、乐学、主动学,而且有效地激发了学生的思维.更重要的是培养他们从数学的角度提出问题,解决问题的意识和能力.

3.2 注重问题驱动,培养数学核心素养

问题是数学的心脏,是课堂的命脉,是数学核心素养的源头活水.数学核心素养是一种综合性的数学能力,培养学生的数学素养,要善于以“问题”启发学生思考,以“问题”引导学生实践探究,培养学生的应用意识.抛物线是在研究椭圆和双曲线后的又一种曲线,但初中学生学习了二次函数,知道二次函数的图象是抛物线.本文呈现的教学设计是:抛物线的定义是什么?抛物线上的点有什么几何性质?如何去探究抛物线的标准方程?怎样研究抛物线?在全部的设计中坚持以问题为先导,引领学生主动思考,主动发现学习中的问题;把问题贯穿于课堂始终,笔者不断为学生提供思考及探究性的活动,让学生充分发挥他们的聪明才智,通过层层递进的问题串,启发学生参与到问题中进行思考探究,让学生轻松、愉悦的氛围中发现问题、解决问题,培养了学生的创新精神和实践能力.在教学中要以人为本,深化自主探究,从而提高学生的数学学科核心素养.

3.3 注重一题多变,实现“1+3”模式分层教学

课堂教学中学生是主体,要提高课堂教学效率,必须发挥学生的主体作用.本文两个地方呈现了分层教学模式,一是引入时,通过动手折纸活动,让后进生和中等生能够探索抛物线的性质,而软件画图拓展了优等生的眼界;二是通过习题讲练,实现“1+3”模式分层教学,通过典例为载体,让全体学生掌握抛物线的基本的思想、方法从而更好地应用知识.这时,我们将典例变为3-5 种不同的变式题来训练,变式1 和2 的设置主要是针对后进生能够通过模仿典例解答问题;变式3 和4 的设置主要是针对中等生需要经过一定的思考才能完成的问题;变式5 的设置主要是针对优等生探索其解答过程同时引导优生摸索不同的方法或技巧的问题.在帮助学生巩固知识的同时,将数学的知识更多的联系在一起,让学生在更深的一个层面上理解知识,发散了学生的思维,提升了学生的数学水平.

在高中数学课堂教学中,对于核心素养的渗透已日趋成熟化,运用探究教学渗透数学核心素养,提高学生数学抽象、逻辑推理以及数据分析的能力.学生通过动手实践,提高学生的数学运算能力,努力打造高效的课堂.