借助多样化解题策略让有效复习自然生成

浙江省杭州市杭州外国语学校(310023) 顾彩梅

中考复习阶段,教师都将组织大量的习题教学来复习、巩固、延伸所学的知识.以习题为核心的复习课,教师很容易为题量所固化,把复习课简单的理解为一系列题型和方法的展示.教师忙于讲解、学生疲于应对的教学模式,使得学生在课堂中的主体地位缺失,学生思维品质得不到发展,教学效果欠佳.古语:“山不在高有仙则名;水不在深,有龙则灵.”笔者不禁思考,如何做到“题不在多,有法则灵”呢?本文以九年级中考第一轮复习阶段“特殊三角形”部分内容作为教学尝试,教师组织、引导学生始终围绕一道经典例题展开教学,借助多样化的解题策略帮助学生全面、深刻、延续性地复习了该部分内容,收到了较好的教学效果.现将该节课学生呈现的主要解题策略和所对应的复习要点以及笔者的教学反思呈现如下.

1 试题呈现

如图1所示,在∆ABC中,∠BAC=90◦,AB=AC,现在这个三角形内取一点D,使∠ABD=30◦,BD=BA,求证:AD=CD.

备战中考的第一轮复习应侧重基础知识的复习,本题学生可以运用特殊三角形的相关知识来解决问题.笔者精心挑选的这道例题,起点低、入口宽,学生从不同角度去探究,解法层出不穷,针对每种解法,笔者给出点评.

图1

图2

图3

2 多样化解题策略及作用

2.1 构造含30◦角的直角三角形

作AE⊥BD于E,作DF⊥AC于F(如图2).Rt∆ABE中,∠ABE=30◦,所以,利用两组对应角及共边AD相等,证得∆EAD∆FAD,所以,即DF垂直平分AC,所以AD=CD.

点评直角三角形是平面几何部分重要的几何图形,是解决许多复杂问题的有力工具.“直角三角形中,30◦角所对的直角边是斜边的一半.”是直角三角形的一个非常重要的性质定理.从已知条件“∠ABD=30◦”出发,构造直角三角形来解决问题,是对上述定理的有效复习.

2.2 构造等边三角形

以AC为边向外作正∆ACE,连结ED(如图3).经过计算可以证得∠BAD=∠EAD=75◦,AB=AE,所以∆BAD∆EAD,∠AED=∠ABD=30◦,则ED为正∆ACE的角平分线,由“三线合一”定理得ED垂直平分AC,所以AD=CD.

图4-1

图4-2

图4-3

点评在各地中考试卷中常出现含“30◦角、60◦角”、“等边三角形”等已知条件的几何问题,对这类问题,引导学生构造“等边三角形”解决问题屡试不爽.如图4-1 至4-3 是学生在同伴的启发下,产生的不同的辅助线的添加方法.“一题多解”可以促进发散性思维的生成,增强学生解决问题的自信心,而“多解归一”起到收敛思维和统一数学思想方法的重要作用.

2.3 构造正方形

以AB、AC为边作正方形BACE,连结ED(如图5).因为∠ABD=30◦,所以∠DBE=60◦.因为BE=AB=BD,所以BE=BD,∆BDE为等边三角形.由∠DEB=60◦可得∠DEC=30◦,利用两组对应边及夹角相等,可证得两个三角形全等,即∆ABD∆CED,所以AD=DC.

点评此解题思路是由等腰直角∆ABC与正方形的关联性想到补全正方形,再借用等边三角形的过渡落实到全等三角形的对应边相等.我们常把“四边形”问题转化成“三角形”问题来解决,很多时候将三角形问题置身于四边形中也会有意想不到的收获.此处既强化了三角形与四边形互通互融的特有属性,也强调了“转换化归”的思想在解题教学中的重要性.

2.4 直接构造全等三角形

在线段BC上截取BE=AD(如图6),由AC=BD,∠CAD=∠DBE=15◦,可证得∆CAD∆DBE,于是DE=DC.不妨设∠BDE=∠ACD=x,根据DE=CD,得到∠DEC=∠DCE,所以15◦+x=45◦−x,解 得x=15◦,所以∠ACD=15◦=∠CAD,所以AD=DC.

点评“全等三角形”是我们研究平行四边形、特殊平行四边形的基础,因此在探究过程中,立足已知信息,挖掘隐含条件,构建全等三角形的思考过程非常重要.引入未知数建立方程,通过计算解决角度相等问题,体现了“数形结合”和“方程”的重要思想.

图5

图6

图7

2.5 构造相似三角形

根据已知条件我们可以推得∠CAD=∠DBC=15◦,要证AD=DC,即证∠ACD=∠CAD=15◦,所以要证∠DBC=∠ACD,继而想到延长BD交AC于点E(如图7),下证明∆EDC∆ECB.在Rt∆ABE中∠ABE=30◦,不妨设AE=a得又因为所以且∠DEC=∠CEB,所以∆EDC∆ECB.

点评相似是全等的延伸,全等是相似的特殊情况,两种方法有着必然的联系.“分析法”是课本介绍的一种非常重要的证明方法,它从要证明的结论出发,结合已知条件,推理出一个显而易见的结论,进而问题得证.这种“执果索因”的思维方式,特别有利于学生思维能力的提升.

2.6 直接计算,建立坐标系

分别以线段AB、AC所在的直线建立坐标轴(如图8),过点D作DE⊥AB于E,不妨设B(2a,0),C(0,2a),因为∠DBE=30◦,则所以CD2=所以A D=DC.

图8

图9

点评把几何问题放在坐标系中解决,可以降低辅助线添加的难度.通过巧设坐标,常规计算来解决问题,这是高中“解析几何”思想的体现.学生在初高中接受的学习应是一个拾级而上的有机整体,初中阶段教师在平时的教学中有意识地渗透一些解析几何的思想,这将会使得后面进一步的学习水到渠成.

2.7 直接计算,利用三角函数

预备:Rt∆ABC中,∠C=90◦,∠A=15◦,则sin 15◦=.

作BE ⊥AD于E,DF ⊥BC于F(如图9),不妨设AB=BD=4x,根据预备定理得DE=BD ·sin 15◦=,则中,则Rt∆CDF中由勾股定理计算得所以AD=CD.

点评15◦或75◦角的三角函数值是30◦特殊角三角函数值的延伸,教师在平时的课堂教学中可以有所渗透但不作要求,学生能想到此法实属意外.三角函数是三角形中边角关系的桥梁,通过解含特殊角的直角三角形来证明线段相等,也是一种不错的策略.

2.8 直接计算,利用正余弦定理

设AD=a,∆ABD中用正弦定理得:,则.∆ACD中用余弦定理得:CD=证得AD=DC.

点评正弦定理和余弦定理是三角形中体现边角关系的重要定理,利用这两个定理,可以不添加任何辅助线,直接计算证得两条线段的相等,方便快捷.

3 拓展延伸

原题在一般性情况下的结论.

我们解决问题的目的是发现、提出新问题.学生提出,原题中当∠BAC=90◦,必须要∠ABD=30◦时才有AD=DC.如果∠BAC≠90◦,对一般等腰∆ABC内部有一点D使得AB=AC=BD,那么∠ABD满足怎样的条件原结论才成立呢?经过探索发现,当∠BAC=α和∠ABD=β,满足关系式时,原结论AD=DC始终成立.证明如下.

设AD=a,∆BDA中由正弦定理得,则.若结论成立,则∆ADC为等腰三角形,利用等腰三角形“三线合一”定理可求得底边

又因为AB=AC,所以得到,即,将等式化解后得到.

特别地,当∠BAC=90◦和∠ABD=30◦时,为本文讨论的特殊情形.

4 教学反思

在习题教学的活动中,合理利用多样化解题策略,可以让有效复习自然生成,主要体现在以下几个方面:

4.1 以生为本,始于必然

面对一个新的问题,不同学生所具备的认知结构、分析解决问题的能力是完全不同的,因此提倡解题策略多样化显得非常必要.以“题海战术”为主的复习课,不能很好的发挥学生在学习过程中的主体地位,挫伤了学生学习的积极性.课堂教学不在于让学生记住了多少知识,而在于它是否能够激起学生学习的好奇心和求知欲.文中学生给出的多样化解法和对新问题的研究,充分反映了他们强烈的探索精神和对数学学科的热爱,体现了多样化解题策略的利好之处.

4.2 以法串线,落实目标

习题千变万化,但就转换的思想而言,其实所有的数学问题都是运用所学过的知识加以解决的,问题是如何将所学的知识以恰当的方式呈现给学生.本文将传统复习课中的“知识梳理”环节隐形于多样化解题的过程中,由一个问题出发,以点带面,通过不同解题策略的动态生成,把许多的性质定理串联在一起,达到了复习课知识点回顾、梳理、整合的目的.本文涉及图形与几何部分主要定理不下10 个,常规辅助线7 种,在解题中复习,可谓“随风潜入夜,润物细无声”.

4.3 精讲一题,弄通一类

本节课从一道题的多种解法探究出发,收获了“证明两条线段相等”的常规方法,体会到“转换化归”、“数形结合”、“方程”等基本思想方法的重要性.解题是主要的教学活动,它贯穿在教师“教”和学生“学”的所有过程中.本文的做法可操作性强,在习题教学中教师只要注重选择合适的例题来引领复习方向,承载复习内容,就可以激发学生多角度思考问题,突破学生思维固化的局限,达到做一题会一类的效果,以此提高复习课学习效率.

4.4 凸显思维,培养创新

解决问题的策略、方法和途径是多种多样的,《课程标准(2011年版)》强调了这种“多样性”.多样性解题策略促使学生从问题的不同角度切入,有利于学生发散性思维的培养,学生在学习过程中的主体性地位保障了.不同的解法充分展示了学生的个性,个性化的培养即创新意识的培养.创新意识不能靠教师教出来,只能是学生在课堂上亲身经历、不断积累而形成,这将有利于数学素养的逐步提升.