二项式定理考点荟萃

福建省德化第一中学(362500) 陈玉兰 吴志鹏

二项式定理研究的是二项之和的乘方展开式,它与多项式乘法有联系,高考中二项式定理的试题几乎年年都有,试题的难度与课本习题相当,大多为容易题或中等难度的试题,题型比较稳定,通常以选择题或填空题形式出现,有时也与应用问题结合在一起求某些数、式的近似值.下文结合实例对二项式定理的知识点进行总结梳理.

一、二项式展开式通项公式的考查

题型1 二项展开式中特定项的考查

例1(2019年高考天津卷)展开式中的常数项为____.

解析展开式的通项为Tr+1=令8-4r=0,得r=2,所以常数项为故答案为28.

变式1(2019年高考浙江卷改编)在的展开

式中,系数为有理数的项的个数是____.

解析由二项展开式的通项公式Tr+1=可知当项的系数为有理数时,9-r必须为偶数.可得r=1,3,5,7,9,即系数为有理数的项的个数是5.

变式2(2017年高考山东卷)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=____.(答案n=4)

评析求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项一般需要建立方程求r的值,再将r的值代回通项求解,注意r的取值范围(r=0,1,···,n).若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)xh(r)(r=0,1,2,···,n),g(r)≠0,则有以下常见结论:h(r)=0⇔Tr+1是常数项;h(r)是非负整数⇔Tr+1是整式项;h(r)是负整数⇔Tr+1是分式项;h(r)是整数⇔Tr+1是有理项.

题型2 几个二项式积的展开式的考查

(a+b)m(c+d)n(m,n ∈N*) 型称为二项式的积,此类问题是二项展开式与乘法分配律相结合的应用.(a+b)m(c+d)n展开式的通项为Tr+1Tk+1=对照题目中字母指数的特殊要求,寻找r,k所满足的条件,确定r,k的值.

例2(2019年高考全国Ⅲ卷)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( ).

A.12 B.16 C.20 D.24

解析(1+x)4的二项展开式的通项为Tk+1=故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为故选A.

变式展开式中x4的系数为____.

提示由乘法分配律得x4项的系数分别来自两个二项展开式中两项乘积的系数,应为如下表搭配[1]:

(x+1)4(x-1)5常数项:C44含x4 项的系数C15(-1)含x 项的系数C24含x3 项的系数C25(-1)2含x2 项的系数C04含x2 项的系数C35(-1)3

因此,x4项的系数

评析对于几个二项式积的展开式中特定项问题研究,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,分类时要注意避免重复或遗漏.

题型3 三项和的乘方展开式中特定项的考查

例3(2015年高考全国Ⅰ卷)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2项的系数为( ).

A.10 B.20 C.30 D.60

解析方法1.(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,由通项公式Tr+1=Cr5(x2+x)5-ryr(r≤5,r ∈N) 可知,当r=2 时含有y2项,所以含y2的项为T3=C25(x2+x)3y2,对于(x2+x)3,由二项展开式通项公式Tk+1=Ck3(x2)3-kxk(k=0,1,2,3),可知:当k=1 时含有x5项,所以(x2+x)3中含x5的项为C13x4·x=C13x5,可得x5y2的系数为C25C13=30.故答案为C.

方法2.(x2+x+y)5的展开式的通项公式为由题意可得:解得x5y2的系数为C25C13=30.

方法3.因为(x2+x+y)5表示5 个(x2+x+y)之积,所以x5y2从5 个因式中的两个因式取y,两个因式取x2,一个因式取x,所以x5y2的系数为C25C13C11=30.

方法4.令k1+k2+k3=5,则展开式的通项公式为由题意可得解得k1=2,k2=1,k3=2,所以展开式中x5y2的系数为30.

评析对于(a+b+c)n展开式中特定项的求解策略:

(1)化为二个二项式的积,即将三项式利用因式分解变为两个二项式的积,然后再用二项展开式的通项公式求解问题;

(2)逐层展开法,即将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含二项式的项展开,利用通项公式的两次叠乘运算从而得到三项展开式的通项公式:(a+b+c)n=[(a+b)+c]n的通项公式为Crn·(Ctn-ran-r-tbt)· cr=

(3)运用组合数知识,把(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成;

(4)多项式 (a1+a2+···+am)n展开式中含项为其中k1+k2+···+km=n(m,n≥2)[2].

二、二项式定理中性质的考查

题型1 二项式系数的和与各项系数和的问题

二项式定理给出的是一个代数恒等式,对于任意的a,b都成立,考查等价性质.因此,可将a,b设定为一些特殊的值即使用赋值法解题,如何对a,b进行赋值,应视具体情况而定,经常取1,-1 或0 代入,有时也取其它值.

例4(2015年高考全国Ⅱ卷):(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=____.

解析令f(x)=(a+x)(1+x)4,则f(1)=(a+1)·(1+1)4=16(a+1),f(-1)=(a-1)·(1-1)4=0,所以(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为:即8(a+1)=32,解得a=3,故答案为3.

评析赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法,一般地,要使(a+x)n的展开式中项的关系变为系数的关系,常令x=0 得常数项,令x=1 可得所有项的系数和,令x=-1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)n(a,b ∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x=1 即可.形如(ax+by)n(a,b ∈R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1 即可.解题过程中要注意项的系数与二次项系数的区别.

题型2 二项式系数与项的系数最值问题

二项式系数最大的项与(展开式中)系数最大的项是不同的.例如,对于二项式(ax+b)n(其中a,b＞0)而言,其展开式的通项是Tr+1=Crnan-rbrxn-r,该通项的二项式系数为Crn,而该通项的系数则是Crnan-rbr.据杨辉三角形易知,二项式系数最大的项恰为展开式中位于正中间那一项(n为偶数)或正中间的那两项(n为奇数);而展开式中系数最大的项可通过解不等式组来确定.

例5(x+2y)7的展开式中,系数最大的项是( ).

A.68y7B.112x3y4C.672x2y5D.1344x2y5

解析因为二项展开式的通项Tr+1=Cr7x7-r(2y)r,r=0,1,···,7.

可设第r+1项的系数最大,则有即

变式设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m等于( ).(答案B)

A.5 B.6 C.7 D.8

评析二项式(a+b)n的系数最大项的确定方法:

(1)如果n是偶数,则展开式最中间一项为第项,其二项式系数最大;

(2)如果n是奇数,则展开式中间两项为第项与第项,其二项式系数相等且为最大.

而对于展开式中各项的系数则呈离散型,在系数符号相同的情况下,求展开式系数的最大(小)值只需要比较两组相邻两项系数的大小来确定系数最大(小)的项;当各项系数正负相间时,求展开式系数的最大值则应在系数都为正的各项系数之间构造相应的不等关系,而求展开式系数的最小值应在系数都为负的各项系数之间构造相应的不等关系.

三、构造、应用二项式定理

题型1 构造二项式定理解决相关问题

例6求0.9986的近似值,使误差小于0.001.

解析0.9986=(1-0.002)6=1+C16·(-0.002)+C26·(-0.002)2+···+C66·(-0.002)6.因为T3=C26·(-0.002)2=15×0.0022=0.00006＜0.001,且第3 项以后的项的绝对值都远小于0.001,所以从第3 项起,以后的项都可以忽略不计,则0.9986=(1-0.002)6≈1-6×0.002=0.988.

评析由于此类问题的计算量很大,转化为构造二项展开式进行计算,可降低计算量,获得结论,构造二项式定理解决近似计算问题时要注意:当a的绝对值与1 相比很小且n不大时,常用近似公式(1±a)n ≈1±na,若精确度要求较高时,则可使用近似公式(1+a)n ≈1+na+进行计算.

例7若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+···+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,···,a5是实数,则a3=____.

解析方法1.因为f(x)=x5=[-1+(1+x)]5,则有a3=C35(-1)2=10.

方法2.换元法:令t=1+x,由已知得(t-1)5=a0+a1t+a2t2+···+a5t5,由通项公式得T3=C25t3·(-1)2=10t3,所以a3=10.

评析由于所给的式子表征为二项展开式的模型,逆用二项式定理,构造公式中的两个项,如例7 若把(1+x)看作为其中一项,则将x变为-1 与(1+x)两项的和,构造两项和或差的二项式再展开,达到求解、求值的目标.

例8已知函数则的值为( ).

A.2016 B.1008 C.504 D.0

解析因为f(x)=所以f(x)=由二项式定理知

评析由于所给函数为关于x的多项式,符合二项式定理中展开式的表征,构造二项式定理进行解题,具有到事半功倍的效果.

题型2 应用二项式定理解决相关问题

例9中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m＞0)为整数,若a和b分别被m除,除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a ≡b(modm).若a ≡b(mod10),则b的值可以是( ).

A.2011 B.2012 C.2013 D.2014

解析因为

所以被10 除得的余数为1,而2011 被10 除得的余数是1,故选A.

评析求余数或证明整除,先依据除数凑配,然后利用二项展开式,最后证明、计算.解题关键是对被除式进行合理变形,把它写成恰当的二项式形式,使其展开后的某些项都含有除式中的因式,进而求余数或证明整除.

例10证明不等式2n＞2n+1(n≥3,n ∈N*).

解析当n=3 时,2n=23=8,2n+1=7,2n＞2n+1成立;当n≥3(n ∈N*)时,

综上,不等式2n＞2n+1(n≥3,n ∈N*)成立.

评析对于此类与自然数n相关不等式的证明,如能构造相应的二项式,并对其展开式的项进行放缩即可以达到求和并证明结论的目的,所以应用二项式定理也是证明与自然数相关的命题的一种有效的路径.

二项式定理是高中数学考查的一个重要内容,它能有效考查学生的等价变形,数学推理,数学直观,数学运算等核心素养,是提升学生数学核心素养模块知识,教学中教师可利用专题知识讲解让学生多思,多练,多感受.