圆锥曲线离心率范围的几个性质

广东省湛江一中培才学校(524037) 魏 欣

离心率是圆锥曲线的重要几何性质,在圆锥曲线中占有重要地位.而求圆锥曲线离心率的取值范围问题在各级各类试题中屡见不鲜,不仅考查了圆锥曲线的定义、标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基本知识,还常与不等式、向量、平面几何等内容交汇在一起,考查了学生分析问题与解决问题的能力.破解圆锥曲线离心率范围问题的关键是找到含有a,b,c的不等式,进而找到解决问题的突破口.本文对圆锥曲线离心率的取值范围问题进行探讨,陈述并证明其若干性质,并通过例题加以说明,以便掌握解题的规律.

性质1若椭圆的两个焦点为F1,F2,M为其上一点,且|MF1|=λ|MF2|(λ＞1),则该椭圆的离心率e的取值范围为

图1

证明如图1,由椭圆的第一定义,得|MF1|+|MF2|=2a,由

因为λ＞1,由三角形的性质有:|MF1|-|MF2|≤|F1F2|,即又e＜1,解得:所以双曲线的离心率e的取值范围为

例1(2019年福建厦门高考调研) 已知椭圆的(a＞b＞0) 两个焦点为F1,F2,M为其上一点,且|MF1|=3|MF2|,则该椭圆的离心率e的取值范围为____.

解析由性质1 易知,λ=3,所以椭圆的离心率e的取值范围为

性质2若双曲线的两个焦点为F1,F2,P为其上一点,且|PF1|=λ|PF2|(λ＞1),则该双曲线的离心率e的取值范围为

图2

证明因为

所以点P在双曲线的右支上,如图2所示,由双曲线的第一定义,得

例2(2019年安徽二模) 已知双曲线的=1 (a＞0,b＞0) 两个焦点为F1,F2,P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则该双曲线的离心率e的取值范围为( ).

A.(1,3) B.(1,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞)

解析由性质2 易知,λ=3,所以双曲线的离心率e的取值范围为故选B.

性质3若椭圆的两个焦点为F1,F2,M为其上一点,且∠F1MF2=θ,则该椭圆的离心率e的取值范围为

证明在ΔF1MF2中,由余弦定理得

由椭圆的第一定义,得

又因为

由以上①②③,得

例3(2019年江苏南通二模)已知椭圆的=1(a＞b＞0) 两个焦点为F1,F2,M为其上一点,且∠F1MF2=120°,则该椭圆的离心率e的取值范围为________.

解析由性质3 易知,所以椭圆的离心率e的取值范围为

性质4若双曲线的=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过点F且斜率为k(k＞0)的直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e的取值范围为

证明因为过点F且斜率为k(k＞0) 的直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上,所以双曲线的渐近线y=的斜率不小于过点F的直线的斜率,即所以

例4(2019年湖北武汉高考调研) 已知双曲线的=1(a＞0,b＞0) 的右焦点为F,过点F且倾斜角60°为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点,则双曲线的离心率e的取值范围为( ).

A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)

解析由性质4_易知,所以双曲线的离心率e的取值范围为[2,+∞),故选C.

由于圆锥曲线有着统一的内在联系,所以它们存在着很多类似的性质.下面介绍焦点重合的椭圆和双曲线离心率的优美性质.

性质5已知椭圆C1:=1(其中a1＞b1＞0)与双曲线C2:=1(其中a2＞0,b2＞0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则

证明所以

性质6已知椭圆C1:=1(其中a1＞b1＞0)与双曲线C2:=1(其中a2＞0,b2＞0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则

(1)当b1≤b2,则e1e2＞1;

(2)当b1＞b2,则

证明由性质5 得所以

由0＜e1＜1,e2＞1 且得令

(1)若b1≤b2,则f(t) 对称轴t=所以f(t)在上单调递减,f(1)=1,故0＜＜1,即e1e2＞1.

(2)若b1＞b2,则1＜在上单调递增,在上单调递减,故即

例5(2016年高考浙江理科第7 题) 已知椭圆C1:+y2=1(其中m＞1)与双曲线C2:-y2=1(其中n＞0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )

A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1

C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1

解析设P为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点,F1,F2为它们的公共焦点,则|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|-|PF2|=2n,所以|PF1|=m+n,|PF2|=m-n,所以m＞n,由性质6(1) 得椭圆和双曲线的离心率之积e1e2＞1,故选A.

例6(2016年全国高中数学四川联赛)已知F1,F2为椭圆和双曲线的公共焦点,P为它们的一个公共点,且∠F1PF2=则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是( )

解析设椭圆方程为双曲线方程为由椭圆和双曲线焦点三角形的面积公式得ΔPF1F2的面积为即由性质6(2)得椭圆和双曲线的离心率之积的最小值故选B.

性质7已知椭圆C1:=1(其中a1＞b1＞0)与双曲线C2:=1(其中a2＞0,b2＞0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则

(1)当b1＞b2时,有最大值,无最小值,且最大值为并且

(i) 当b2＜b1≤时,的取值范围为

(ii) 当b1＞时,的取值范围为

(2)当b1≤b2时,既无最大值,也无最小值,且的取值范围为

证明由性质5 得即

令

则

于是问题转化为在条件

下,探究z=的最值问题.

u2+v2=表示单位圆u2+v2=1 上一段劣弧AB,其中B(1,0),圆u2+v2=1 在A点处切线斜率为k=目标函数z=的斜率为

(1)当k′＜k,即-即b1＞b2时,平移直线z=当直线z=与圆弧相切时,z取得最大值.

设切点P(u0,v0),则由得切点此时zmax=zP=z没有最小值.

zA=2,zB=令zA=zB,得b1=因此得的取值范围为当时,z的取值范围为

(2)k′≥k,即即b1≤b2时,当平移直线z=由线性规划思想知zB＜z＜zA,又zA=2,zB=故z的取值范围

例7(2014年高考湖北理科第9 题) 已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

解析设椭圆方程为双曲线方程为由椭圆和双曲线焦点三角形的面积公式得ΔPF1F2的面积为即由性质7(1)得的最大值为故选A.