三等分点、角平分线、线段一半的性质

广东省广州市骏景中学

在研究2019年广州市数学中考第24题的过程中,笔者发现了三角形中的角、边、角平分线三者间的关系,即本文所关注的三等分点、角平分线、线段一半的性质.其中“三等分点”是指三角形某条边上的一个三等分点,“角平分线”是指该边所对的角的平分线,“线段一半”是指三角形的另外两边中,其中一条边的边长是另一条边的一半.

原题如图 1,等边ΔABC中,AB= 6,点D在BC上,BD= 4.点E为边AC上一个动点(不与点C重合),ΔCDE关于DE的轴对称图形为ΔFDE.

(1)当点F在AC上时,求证:DF//AB;

图1

(2)设ΔACD的面积为S1,ΔABF的面积为S2,记:S=S1-S2,S是否存在最大值？若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由;

(3)当B、F、E三点共线时,求AE的长.

在拆解第(3)问的过程中发现了以下性质:三等分点、角平分线、线段一半,三者中已知任意两个就能得出第三个.

1 三等分点+角平分线⇒线段一半

已知:如图2,ΔABC中,OA是∠BAC的角平分线,点O是BC的三等分点(OB=2OC).

图2

图3

解析如图3,在AB上截取AD=AC,连接OD.因为∠1 = ∠2,AO=AO,所以ΔADO∽= ΔACO,所以OD=OC.以点O为圆心,OC为半径画圆,圆必过点D,且与BC交于点E,则:OC=OE.因为OB= 2OC,所以OC=OE=BE.连接CD交OA于点F,因为∠EDC=∠3=90°,所以ED//OA,所以所以

2 角平分线+线段一半⇒三等分点

已知:如图4,ΔABC,AO为∠BAC的角平分线,AC=

结论:点O为BC的三等分点(OB=2OC).

图4

图5

解析如图5,在AB上截取AD=AC,连接OD.因为∠1 = ∠2,AO=AO,所以ΔADO∽= ΔACO,所以OD=OC,以点O为圆心,OC为半径画圆,必过点D,且与BC交于点E,得OC=OE.连接DC、DE,得:∠EDC= ∠3 = 90°,所以DE//AO,所以因为所以所以即BE=OE.所以OC=OE=EB,所以点O为BC三等分点.

3 三等分点+线段一半⇒角平分线

已知:如图6,ΔABC,点O为BC的三等分点(OB=

结论:AO为∠BAC的角平分线(∠1=∠2).

图6

图7

解析如图7,分别取AB、OB的中点D、E,连接CD、DE,线段CD与AO交点F,所以DE//AO(中位线).因为OB = 2OC,所以OC = OE,所以所以FD = FC.因为点D是AB的中点,所以因为AF = AF,所以ΔADF ∽= ΔACF (SSS),所以∠1=∠2.

综上归纳,三等分点、角平分线、线段一半,三者中已知任意两个就能得出第三个.

性质1已知三等分点、角平分线,可以得到线段一半.

性质2已知角平分线、线段一半,可以得到三等分点.

性质3已知三等分点、线段一半,可以得到角平分线.

4 回归原题,解决问题

原题第(3)问的解析过点E作EG⊥BC于点G,因为ΔCDE 关于DE的轴对称图形为ΔFDE,所以ED 平分∠BEC.

因为DC = 2,BD = 4,所以DB = 2DC(即: 点D是BC 的三等分点), 根据上述性质1: 已知三等分点、角平分线, 可以得到线段一半,可得CE = EF = FB. 设CE = x, 则EB = 2x, 在RtΔCGE 中,∠C = 60°,所以所以在RtΔEGB 中,因为EG2+BG2= BE2,从而(2x)2. 所以从而,