圆锥曲线中三点共线的一个充要条件

云南省弥勒市第一中学(652399) 孔繁文

圆锥曲线蕴涵着许多神奇美妙的性质，笔者对河北省沧州市2019 届高三高考模拟考试3月联考数学(理)试题(A卷)第20 题进行了探究，得到了圆锥曲线中三点共线的一个充要条件.

一、试题呈现

题目已知圆的圆心为C1，圆的圆心为C2，一动圆C与圆C1内切，与圆C2外切.

(Ⅰ)求圆心C的轨迹方程;

(Ⅱ)当过点M(3,1)的动直线l与曲线C相交于两个不同的点A,B时，在线段AB上取点P，满足点P是否在定直线上? 如果是，求出这条定直线;如果不是，请说明理由.

答案(Ⅰ)圆心C的轨迹方程为;(Ⅱ)点P在定直线x+y=2 上.

二、试题的探究

本题着重考查圆和圆的位置关系，椭圆的定义，直线和椭圆的位置关系，一元二次方程的根与系数的关系，向量的坐标运算等知识，同时还考查化归与转化的数学思想及综合运算的能力．笔者对(Ⅱ)进行深入探究，得到了圆锥曲线中三点共线的一个充要条件．

命题1过椭圆Γ := 1 (a ＞0,b ＞0)外任意一点P分别作椭圆Γ 的割线PAB和切线PC,PD，切点分别为C,D，若Q是线段AB上的一点，则C,Q,D三点共线的充要条件是

证明依题意，设P(xP,yP),Q(xQ,yQ)，则直线PAB的方程为

(yQ-yP)(x-xP)-(xQ-xP)(y-yP)=0,其中(yQ-yP)2+(xQ-xP)20，于是由

消去y(或x)并整理得

或

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则

于是

另一方面，设C(x3,y3),D(x4,y4)，则直线PC的方程为直线PD的方程为因为P在直线PC,PD上，所以所以直线CD的方程为即b2xP x+a2yP y=a2b2，所以当且仅当a2b2-b2xP xQ-a2yP yQ=0，即b2xP xQ+a2yP yQ=a2b2; 也即当且仅当点Q在直线CD上，所以C,Q,D三点共线的充要条件是

命题2过双曲线外任意一点P分别作双曲线Γ 的割线PAB和切线PC,PD，切点分别为C,D，若Q是线段AB上的一点，则C,Q,D三点共线的充要条件是

证明与命题1 类似(略).

命题3过抛物线Γ :y2= 2px(p ＞0)外任意一点P分别作抛物线Γ 的割线PAB和切线PC,PD，切点分别为C,D，若Q是线段AB上的一点，则C,Q,D三点共线的充要条件是

证明依题意，设P(xP,yP),Q(xQ,yQ)，则直线PAB的方程为

其中yQ-yP0，由

消去x并整理得

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则

由于y21=2px1,y22=2px2，所以

于是

另一方面，设C(x3,y3),D(x4,y4)，则直线PC的方程为p(x+x3)=y3y，直线PD的方程为p(x+x4)=y4y，因为P在直线PC,PD上，所以p(xP+x3)=yP y3,p(xP+x4)=yP y4，所以直线CD的方程为p(xP+x)=yP y，于是当且仅当p(xP+xQ)-yP yQ=0，即p(xP+xQ)=yP yQ; 也即当且仅当点Q在直线CD上，所以C,Q,D三点共线的充要条件是

由上述命题可得圆锥曲线中三点共线的一个充要条件

定理过圆锥曲线Γ 外任意一点P分别作Γ 的割线PAB和切线PC,PD，切点分别为C,D，若Q是线段AB上的一点，则C,Q,D三点共线的充要条件是

推论过圆锥曲线Γ 外任意一点P分别作Γ 的割线PAB和切线PC，切点为C，Q是线段AB上的一点，若直线CQ与Γ 相交于D，则直线PD与Γ 相切的充要条件是(证明略).