明确图形生成顺序,找准破题初始变量

陕西省汉中市龙岗学校(723100)唐宜钟 周 娟

在某些解析几何题目中,图形中点、线、角等量是有生成、变化顺序的: 即由初始量A生成并引起B的变化,B的变化又引起C的变化,量依次生成、变化,直到最终需要证明或者计算的结论.一般来说,越靠前的量,基本信息越多,越容易求得.后面的量又由前面的量计算求得.因此,找准初始变量并合理表达,是破题的关键.

在实际教学中,教师往往根据解答解析几何的经验,给学生做答.很少有人提出生成顺序和初始变量的想法,学生解答问题时也糊里糊涂.下面笔者试举几例进行说明.

例1 已知抛物线C:x2=2py(p >0),直线l:y=mx −3 与抛物线C相切,且原点到直线l的距离为(1)求抛物线C的方程;

(2) 如图,过抛物线C的焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点,PE与抛物线的准线垂直,且垂足为E,QR⊥EF与抛物线交于R,求∆PQR面积的最小值.

解(1)x2=4y；

(2)题目叙述繁杂,点、线众多,此时需要关注图形中点、线的生成顺序,找准基本量,按照生成的逻辑链条,依次表达各量,才不至于在解题过程中瞻前顾后,顾此失彼.显然,本题的初始变量为P,P的变化引起了点Q和E的变化,直线EF和点Q又生成了点R,进而形成三角形PQR,其生成顺序如图，故本题可先设点P的坐标,再依次生成各点、线的坐标和方程,最终得解.

例2 (2019 年浙江卷) 如图,已知点F(1,0) 为抛物线y2=2px(p >0),点F为焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得∆ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F右侧.记∆AFG、∆CQG的面积为s1、s2.

事实上,从图形的生成过程可以看出本题中点的生成是一个闭合回路,其也可以反向生成.如已知定点C和定点A,在抛物线上任取一点N,直线CN交抛物线于点L,直线AN交抛物线于点M,则直线ML过定点B.根据本题中的量可以很容易反推出来.其生成顺序如图:

例4 (2019 年全国二卷)已知点A(−2,0),B(2,0)动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G

(i)证明: ∆PQG是直角三角形;

(ii)求∆PQG面积的最大值.

解(1)

(2)(i)略.

对于第(ii)问,在椭圆中,如果使用点的生成想法,点P为初始变量,点G是最后生成的,点G的坐标表示起来比较困难.我们尝试改变一下想法,从边长和角度方面理解生成过程.