利用指数和对数运算法则同构变形巧解函数不等式恒成立问题

广东广雅中学(510160)徐广华

笔者研究发现,在既含ex又含lnx的混合型不等式恒成立或函数的最值、零点问题中,可以利用指数和对数运算法则对其进行同构变形,然后通过整体换元、构造函数或放缩法解之,这比常规的分类讨论方法要简便很多.

1 处理指数和对数混合题型的常用同构变形方法

2 放缩法解决不等式恒成立问题常用的重要不等式

ex≥x+1(x ∈R),等号当且仅当x=0 时成立;ex≥ ex(x ∈R),等号当且仅当x=1 时成立;(ex≥x+1 中的x用x −1 代,得ex−1≥x ⇔ex≥ex),≤lnx≤x −1(x>0),等号当且仅当x=1 时成立.

3 同构变形与放缩法在函数不等式中的应用举例

3.1 巧解函数的最值问题

评注求这类含有自然指数和自然对数的混合型复杂函数的最值问题,同构变形后,灵活利用重要不等式ex≥x+1(x ∈R)合理放缩求之,显得非常简捷.

3.2 巧解函数的零点问题

分析(1) 由f(x0)=0,得=2−lnx0,两边取自然对数,得2 lnx0+x0−2=ln(2−lnx0),同构变形为lnx0+x0=ln(2−lnx0)+(2−lnx0).构造函数F(t)=lnt+t,则有F(x0)=F(2−lnx0),显然F(t)是增函数,故x0=2−lnx0,即lnx0=2−x0,则=x0,故

(2)由ea=,得a=ln 2−lna,即

由b(lnb −1)=2e,两边取自然对数,得

观察①②两式,构造函数f(x)=x+lnx,则f(a)=f(lnb −1)=ln 2.显然f(t)是增函数,故a=lnb −1,代入①,得lna+lnb=1+ln 2,即ln(ab)=ln(2e),故ab=2e.

评注乘积指数型函数的零点问题,可尝试两边取自然对数,同构变形后,构造函数,利用单调性求解.

例3 已知函数f(x)=2xex −ax −alnx(a ∈R).

(1) 若曲线y=f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线l过点(0,−2e−1),求实数a的值;

(2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.

评注自然指数和自然对数混合型函数的零点个数问题,可尝试同构变形,然后换元,再数形结合求解.

3.3 巧解不等式恒成立参数的取值范围问题

例4 (1)已知函数f(x)=ex−1+xlnx −x2−ax,若f(x)≥0 恒成立,则实数a的取值范围是____.

(2)(2021 四川资阳高三月考)若不等式xex −a(x+2)−alnx≥0 恒成立,则实数a的取值范围是____.

例6 (2020 全国新高考I 卷第21 题) 已知函数f(x)=aex−1−lnx+lna.

(1)当a=e 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

分析(1)略.(2)f(x)≥1 同构变形为elna+x−1−lnx+lna≥1⇔elna+x−1+(lna+x −1)≥x+lnx=elnx+lnx.构造函数F(t)=et+t,则F(t)在R上单调递增,则

恒成立,转化为lna≥g(x)max.易知g(x)max=g(1)=0,则lna≥0,故a≥1 为所求.

例7 (1)若不等式2ae2x −lnx+lna≥0 恒成立,则实数a的最小值为____.

恒成立,转化为lna >g(x)max.易知g(x)max=g(−1)=1,则lna>1,故a ∈(e,+∞)为所求.

评注不等式恒成立求参数取值范围问题,有时为了化为同构模型,需要在不等式两边同时加上某个变量(如: 两边同时加上x或2x),然后构造函数,利用单调性求解.

例8 (2021 福州质量检测第22 题)已知f(x)=x2ex−1.

(1)判断f(x)的零点个数,并说明理由;

(2)若f(x)≥a(2 lnx+x),求实数a的取值范围.

分析(1)略.(2)解法一不等式可化为e2lnx+x −1 ≥a(2 lnx+x).换元: 令t=2 lnx+x,则转化为

评注不等式恒成立求参数取值范围问题,同构变形后,分离参数转化为求含有自然指数和自然对数的混合型复杂函数的最值,可尝试利用重要不等式ex≥x+1(x ∈R)或ex≥ex(x ∈R)放缩法求之.

3.4 巧证函数不等式恒成立问题

以上例子告诉我们,在研究和解决数学问题时,通过适当的变换使之转化,进而达到复杂问题简单化、难解问题容易化、抽象问题具体化的目的,这种化归转化思想非常重要.纵观近些年的高考试题,绝大部分要考查到化归转化思想.同构变形、整体换元、构造函数、分离参数等思想和方法,更是解决不等式恒成立或函数零点问题时实现等价转化与化归的常用手段.在解题教学中,教师要引导学生注意观察,善于发现问题的内在联系,寻找结构形式上的相似点,唯有“套路”得人心,大道至简,培养学生的求简意识,提升核心素养.