一道新西兰数学奥林匹克赛题的解法探究

浙江省宁波市北仑区顾国和中学(315800)沃玲俐

1 试题呈现

试题(2020 年新西兰数学奥林匹克(第一轮)第2 题)正方形ABCD中,X为线段BC上任意一点,Y为直线CD上一点,满足BX=Y D,且D在C和Y之间.证明:XY的中点在BD上.

2 证法探究

分析显然,线段XY与线段BD相交,只有一个交点,设其交点为E.欲证线段XY的中点在BD上,只需证明点E是线段XY的中点即可.因此,本题的本质是证明EX=EY.

思路1 构造全等三角形,利用全等三角形的性质证明.

证法1 如图1,设线段XY与线段BD相交于点E.过点X作XF//CD,交BD于点F.因为四边形ABCD是正方形,所以∠BXF=∠C=90◦,∠XBF=45◦.所以∠XFB=∠XBF=45◦,所以BX=FX.又因为BX=Y D,所以FX=Y D.因 为XF//CD,所 以 ∠DY E=∠EXF,∠Y DE=∠EFX.所 以∆DEY∽=∆FEX,所以EY=EX.所以点E是线段XY的中点,即XY的中点在BD上.

图1

证法2 如图2,设线段XY与线段BD相交于点E.过点Y作Y F//BC,交BD的延长线于点F.因为四边形ABCD是正方形,所以∠FY D=∠C=90◦,∠FDY=∠BDC=45◦.所以∠F=∠FDY=45◦,所以FY=Y D.又因为BX=Y D,所以FY=BX.因为FY//BC,所以∠FY E=∠BXE,∠F=∠EBX.所以∆FY E∽=∆BXE,所以EY=EX.所以点E是线段XY的中点,即XY的中点在BD上.

图2

点评为证明EX=EY,需将线段EX和EY放置在两个三角形中,然后证明这两个三角形全等即可.显然∆DEY和∆BXE不是全等三角形,故需构造全等三角形.图1 采用了分割法,即在∆BXE中分割出了一个∆FEX,得到∆DEY∽=∆FEX.图2 采用了扩充法,即将∆DEY扩充为∆FY E,从而得到∆FY E∆BXE.不论采用什么方法,其目的都是为了构造全等三角形,然后利用全等三角形的性质证明EX=EY.因此,全等三角形是证明线段相等关系的基本工具,具有普适性.

思路2 构造辅助圆,借助圆的有关性质证明.

证法3 如图3,设线段XY与线段BD相交于点E.连接AX,AE,AY.因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD,∠ABX=∠ADY=90◦.又因为BX=Y D,所以∆ABX=∽ ∆ADY.所以AX=AY,∠BAX=∠DAY.从而易知∠XAY=∠BAD=90◦,∠AXY=∠ABD=45◦.所以A,B,X,E四点共圆.由圆的性质,易知AE⊥XY.从而可知点E是线段XY的中点,即XY的中点在BD上.

图3

点评根据正方形的性质及BX=Y D,易证AX=AY,∠XAY=90◦,即∆AXY是等腰直角三角形,欲证EY=EX,只需证明AE⊥XY.在四边形ABXE中,∠ABX=90◦,所以只需证明A,B,X,E四点共圆即可.由此可以看出,圆的性质也是证明线段相等关系的常用工具.

证法4 如图4,设线段XY与线段BD相交于点E.连接AX,AE,AY.因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD,∠ABX=∠ADY=90◦.又因为BX=Y D,所以∆ABX∽=∆ADY.所以AX=AY,∠BAX=∠DAY.从而易知∠XAY=∠BAD=90◦,又∠BCD=90◦,所以A,X,C,Y四点共圆,XY是该圆的直径.由正方形的性质,易知AE=CE.从而可知点E在线段AC的垂直平分线上,即点E在直线BD上,所以该圆的直径也在直线BD上.

图4

综上所述,点E是该圆的圆心,从而可知EX=EY.所以点E是线段XY的中点,即XY的中点在BD上.

点评根据正方形的性质及BX=Y D,易证∠XAY=90◦,又∠BCD=90◦,所以A,X,C,Y四点共圆,XY是这个圆的直径.欲证明EX=EY,只需证明点E是该圆的圆心即可.由正方形的性质,易知AE=CE.由线段垂直平分线的判定可知点E在线段AC的垂直平分线上,点A和点C又在该圆上,它关于直径所在的直线对称,从而说明该圆的直径在直线BD上.根据据圆的性质,圆的两条直径所在直线的交点即为该圆的圆心,从而可知EX=EY.

思路3 利用解析法证明.

证法5 如图5,以AB边所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.设线段XY与线段BD相交于点E.设AB=m,BX=n,则B(m,0),D(0,m),X(m,n),Y(−n,m).易知直线BD的表达式为y=−x+m,直线XY的表达式为y=即线段XY与线段BD的交点E的坐标为.由中点坐标公式,易知点E是线段XY的中点,即XY的中点在BD上.

图5

证法6 如图5,以AB边所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.设线段XY与线段BD相交于点E.设AB=m,BX=n,则B(m,0),D(0,m),X(m,n),Y(−n,m).由中点坐标公式,易知线段XY的中点为.易知直线BD的表达式为y=−x+m.显然,在直线y=−x+m上.所以XY的中点在BD上.

点评四边形ABCD是正方形,可考虑利用解析法解决问题.以AB边所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系后,直线BD和直线XY的表达式易求得,然后证明该点是线段XY的中点即可;或先求出线段XY的中点坐标,然后证明该点在直线BD上即可.

3 解题反思

比较上面6 种证明方法,显然证法6 的计算量较小,证明过程更简洁一些.由此可以看出,解析法也是解决与正方形有关几何问题的基本工具.利用解析法解决几何问题时,一是要建立适当的平面直角坐标系,尽可能减少参数,以方便表示某些关键点的坐标;二是表示出某些关键点的坐标,求出某些关键直线的表达式,实现几何问题代数化;三是利用函数的有关性质或有关代数方法解决几何问题.通过对上述试题多种证法探究,落实了培养学生的推理论证能力,提升了数学运算、逻辑推理和直观想象的数学学科核心素养.