不同教学方法探索思维型课堂索*——以“费马点”教学为例

华南师范大学附属中学(510630)洪喆慧

1 案例背景

林崇德先生提出,思维型课堂教学的基本原理是认知冲突、自主建构、自我监控、应用迁移.课堂教学要求明确教学目标、突出知识形成过程、联系已有的知识经验、重视非智力因素的培养、训练学生的思维品质、创设良好的教学情境、因材施教.本案例主要基于在课堂中应用多种不同教学方法、融合多学科知识的原则探索思维型课堂.

费马点问题不仅仅是一种问题模型,更是一种思想方法,以数学文化和实际问题为背景,吸引学生探究这类线段和的最小值,在探究过程中,通过对一个问题的深入研究,弄清楚一类的问题,提升学生的思维水平.

2 案例分析

“费马点”是最短路径问题,人教版教材中没有特别出现这一章节.本堂课基于初中基础较好的学生进行专题拓展内容.帮助学生解决这一类线段和的最值问题.本课例通过先猜想后论证的方法得出费马点的结论,再通过加权费马点的拓展,达到举一反三的效果.

本课的教学目标和重难点为:知识与技能目标:掌握费马点的论证过程以及加权费马点时的求解情况.

过程与方法目标:通过实验、观察、猜想、论证、拓展的探究思路,体会先猜想后论证的数学思想方法,从一道问题拓展开,培养学生举一反三的数学思维.

情感态度与价值观目标:用生活中的实例和动手操作引发学生兴趣,激起学生的探究欲望,培养对数学的热爱.

教学重点:费马点与加权费马点的求解.

教学难点:费马点的探究过程以及加权费马点的求解.

3 教学过程

3.1 情境引入

某城市有三处地铁站呈锐角三角形分布,现在某厂商要举行推广活动,希望能尽可能吸引更多的顾客,为了使活动地点到三个地铁站都尽可能近,也就是三个地铁站离活动地点的距离总和最小,该活动地点选在什么位置比较合适?

数学问题:在锐角三角形ABC中,找到一点P,使得PA+PB+PC最小.

历史故事:17 世纪的法国数学家费马(Fermat)曾在一封写给托里拆利(Torricelli)的信中提出一个问题:“对于任意一个三角形,是否存在一个点,它到三个顶点的距离之和最小.”托里拆利成功解决了这个问题,这个点后被称为费马点或托里拆利点.

设计意图从生活中的问题引入,通过创设一定的情境,激发学生的兴趣,让学生感受到知识,培养对知识的感情,进而发挥主观能动性,去积极地认识和建构外在客观世界.这里将生活中的问题抽象成数学问题,并且融入数学史的文化背景,提升学生的概括表达能力,激起对数学的兴趣.

3.2 新知探究

探究1实验探究

在水平面上的锐角三角形ABC的三个顶点A,B,C处各挂一根绳,绳的一头系上质量均为m的小球,另一头系于P点,构造理想的机械能守恒的物理系统.实验如图1.

在展台上展示实验,引导同学们观察,

(2)手动改变点P的位置,测量出此时PA+PB+PC的大小;

(3)比较(1)与(2)中测量的长度大小关系,(2)松手后,观察点P是否落回(1)中的位置.

结果及证明

(1)中测量可得,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,由于小球质量相同且PA、PB、PC三个方向的绳拉力大小相同,根据物理的平衡原理,这一系统处于平衡状态时,三条绳子两两夹角为120°;

(2)改变点P的位置,测量的几次结果都比(1)的大,且松手后,点P落回(1)中的位置.

设三条绳子的总长度为L,水平平面ABC为零势能面,当系统处于平衡时,势能Ep=-mg(h1+h2+h3)=-mg(L-PA-PB -PC),根据物理知识可得,平衡状态下,系统的势能取到极小值,即PA+PB+PC取最小值.

设计意图这一环节的设计与物理实验相融合,从动手操作实验的角度引导同学们通过动手和观察发现当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,系统处于平衡状态,此时势能取到极小值.激起同学们的兴趣.培养学生的观察能力,动手能力,实践能力.

探究2几何画板探究

当轴流泵以106 r/min的转速旋转时，空泡水筒试验段进口处的平均流速为4 m/s，中心截面(y=0)处的速度场分布见图5。由图5可知，扩散段下游和导流片①D下游均产生了流动分离。水流经过导流片①C之后，其速度幅值沿z轴的分布较不均匀，此时轴流泵工作于非均匀流场中，但轴流泵处于水筒底部，压力较大，叶片未发生空化。轴流泵下游存在旋转流，速度分布较不均匀，导流片①B附近产生剧烈的流动分离，湍动能较大。

探究1 中手动的测量有限个点,不一定非常精确,可以再次通过几何画板的模拟任意点的情况引导同学们观察结果.

如图2,在几何画板中,测量出∠APB、∠BPC、∠CPA的精确度数以及PA+PB+PC的长度,移动点P的位置,对比度数与长度的关系,发现当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC的长度最小.点P移动到其他任意位置时,PA+PB+PC都比夹角为120°时大.

猜想当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC的长度最小.

探究3几何证明

经过探究1 的物理模拟和探究2 的软件模拟,可以猜想,当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC的长度最小.请同学分成小组讨论几个问题:(1)如何证明?(2)如何准确的找到这一点? (3)这一结论是否对所有的三角形都通用? 如果不是,对什么三角形适用? 其他的三角形是否存在这样的费马点?

提示线段和的最值问题可以通过转移线段优化图形,使得三条线段在同一条直线上,120°是一个特殊角度,可以提示我们如何进行变换?

解析

(1)证明一如图3,将ΔAPC绕点C顺时针旋转60°得到ΔA′P′C,则AP=A′P′,ΔCPP′为等边三角形,则CP=PP′,PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′,当A′、P′、P、B共线时,P′A′+PB+PP′最小,即PA+PB+PC最小.

当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,A′、P′、P、B共线,得证.

证明二如图4,过点A作FG⊥PA,过点B作EF⊥PB,过点C作EG⊥PC,三条线分别交于点E、F、G.∵FG⊥PA,EF⊥PB,∴A、P、B、F四点共圆,∵∠APB=120°,∴∠F=60°,同理,∠E=∠G=60°,ΔEFG是等边三角形.

设点E到FG的距离为h,则

在ΔABC内取异于点P的的一点H,过点H作HM⊥FG,HN⊥EF,HQ⊥EG,则h=PA+PB+PC=HM+HN+HQ,∵HA＞MH,HB＞HN,HC＞HQ,∴HA+HB+HC＞PA+PB+PC,∴当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC的长度最小.

(2)如图5,分别以AC、AB为边作等边ΔAA′C,ΔAA′′B,A′B与A′′C的交点即为费马点.

(3)根据(2)中的作图规则,当∠BAC大于120°时,交点将落在ΔABC外,此时点P与点A重合时,点P为费马点.

证明设∠BAC≥120°,如图6,将ΔABP绕点A顺时针旋转至ΔAB′P′,使得B′、A、C三点共线,∵ΔB′AP′∽=ΔBAP,∴AP′=AP,∴∠AP′P=∠APP′,∵旋转角为∠BAC的补角,∴∠P′AP≤60°,∴∠AP′P≥60°,∴∠AP′P≥∠P′AP,∴AP≥PP′,∴PA+PB+PC≥PP′+B′P′+PC≥B′C.当点P与点A重合时,PA+PB+PC=B′C.故三角形中大于等于120°的内角顶点就是最小点.

设计意图先猜想后证明是数学中常用的思想方法,探究3 通过几道思考题让同学们互相讨论,激起思维的火花,再与同学们分享,教师点拨,帮助同学们在探讨过程当中更加深入理解这一知识.

这些探究是学生自主建构知识的过程,运用观察和实验来展示有关事物的发生、发展和变化的现象和过程、联系学生已学知识进行教学.在课堂教学中,三个探究注重与学生之间的互动,学生动手、观察、讨论等,教师与学生之间,学生与学生之间发生具有促进性的相互影响、相互作用,通过师生互动、生生互动、思维互动、情感互动、行为互动,使得课堂更活跃.

3.3 例题讲解

例1 如图7,在ΔABC中,∠ABC=30°,BA=6,BC=8,点P为ΔABC内部的一点,则PA+PB+PC的最小值为____.

解如图7-1,将ΔAPB绕点B逆时针旋转60°得到ΔA′P′B,则PA+PB+PC=A′P′+PP′+CP≥A′C,∵BA′=BA=6,BC=8,∠A′BC=90°,∴A′C=10,∴PA+PB+PC的最小值为10.

例2(改变一条线段的权重)如图8,在ΔABC中,∠ABC=30°,BA=6,BC=8,点P为ΔABC内部的一点,则PA++PC的最小值为____.

思考当改变一条线的权重时,通过旋转构造与之相对应的三角形,使旋转之后的一条边与原来的边成对应的比例.

例3(改变两条线段的权重使之三条边的系数构成特殊直角三角形)如图9,在ΔABC中,∠ABC=30°,BA=6,BC=8,点P为ΔABC内部的一点,则的最小值为____.

思考观察到PC前的系数不变,且PA,PB,PC的系数可以构成含60°角的直角三角形,可以考虑旋转ΔAPB.(若PB前的系数不变,考虑旋转ΔAPC.)

思考构成直角三角形,可将其中一条边的系数转化为1,参考例3 的方法进行进行求解.但注意与例3 不同,本例中PB的系数最大,注意旋转角度的区别.

设计意图这部分主要采用同学板演,同学互评,教师评价的方式进行.掌握了费马点的原理,对费马点进行拓展探究.首先从新知探究中已经得到的结论对1:1:1 的系数关系求解,当场检验同学们的掌握程度,接着一步步改变系数利用旋转+位似进行求解,培养同学们举一反三的能力,从而不断加深对费马点的理解与应用.

例1 是对新知识的自我监控与评价,加深对知识的理解,例2-例4 改变问题的模式,无法直接用新知识去解决,需要变式,是对新知识的应用迁移,对新知的掌握和灵活运用,找到内在的规律,总结一题多变,多题归一的方法,从1:1:1的系数类比到不同类型的系数之比,对学生提高思维能力具有重要的作用.培养学生分析问题和解决问题的能力.

3.4 课堂小结

本节课学习主要内容:

①求到三角形三个顶点距离之和最短的点(费马点),以及求解最短距离方法;

②改变费马点的三条边的权重,求解最短距离的方法,旋转+位似.

3.5 课后作业

如图11,在ΔABC中,∠ABC=30°,BA=6,BC=8,点P为ΔABC内部的一点,则

设计意图课后作业的(1)(2)是对学生课堂知识的检验,(3)是逆向思维的发展,(4)拓展到一般情况,培养学生的类比归纳能力,安排选做让学有余力的学生继续思考,这几个课后作业的设计,检测学生的学习效果,对本堂课进行反馈.

4 教学反思

“费马点”问题是对数学基础知识、基本解题方法和基本数学思想的融合、渗透,真正提升了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.“费马点”问题不但能够让学生体会到数学的趣味性,同时还能够让学生真正理解和掌握基础知识、基本方法,形成思维的严谨性、发散性和灵活性.

从猜想到论证,从特殊到一般,采用实验操作、多媒体演示、小组讨论、学生演示、教师讲授、讲练结合等教学方法,将费马点的思想渗透到学生的脑海中,帮助他们对这类的几何最值有更深层次的掌握.

本节课先创设问题情境,学生此前接触的是将军饮马、胡不归、阿氏圆等两条线段之和的最值问题,现在是三角形内部的三条线段之和,产生认知冲突,激发学生的积极思维.从动手实验的物理解释到几何画板的计算机演示再到数学的推理论证,这些过程将多种学科性质融合激发学生的探究欲望,探究过程注重师生互动和生生互动,思维互动,在知识形成的过程中,学生自主探究,一步一步将问题深入,最后将多种情况归一成同样的方法总结,形成认知结构,培养学生的思维能力.