基于GeoGebra 培养数学抽象素养的U 型模式*——以活动课“二元一次方程组解的几何意义”的教学为例

广东省广州市荔湾区教育发展研究院(510375)蔡 琳

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》指出数学课程要培养学生的核心素养,主要包括三个方面: 会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.初中阶段,核心素养主要表现为: 抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识[1].可见,数学抽象能力位于核心素养首位.《标准》同时指出: 会用代数式、方程、不等式、函数等描述现实问题中的数量关系和变化规律,形成合适的运算思路解决问题,形成抽象能力、模型观念[1].由此,数学抽象素养的落地需要经过一个复杂的过程,而这一过程与U型契合.

U 型模式是基于深度学习理论提出的,深度学习理论认为: 知识的学习需要经历还原与下沉、体验与探究、反思与上浮的过程,这一过程就像一个U 型.还原的过程即知识的“下沉”过程,教师要通过创设情境还原知识的背景和现象,激起学生的疑问,学生要通过回忆,建立起书本知识与个人经验的关联性,从而提出问题,进入“沉浸式”学习状态.U 型的底部是“潜行”,教师要基于知识结构和学生的认知结构设计“层进式”的问题链或任务单驱动学生进入深度学习,是学生对知识进行体验与探究的过程.第三个环节是“上浮”,学生将经过“自我加工”的知识进行个人意义的升华和表达,教师评价学生知识理解的深度和思维发展的水平,并对其没有达到的思维深度进行补偿教学[2],如图1.

图1

本文以人教版《数学》七年级下册第八章活动课“二元一次方程组解的几何意义”教学为例,谈谈如何基于GeoGebra 实现U 型模式发展数学抽象素养.

1 下沉: 创设情境,提出问题

通过GeoGebra 创设情境,演示实数与数轴上的点一一对应,并提出问题,进入深度学习的入口.

问题1 你能写出二元一次方程x −y=0 的解吗? 你能类比实数用“形”表示出解吗?

师生活动学生独立思考,教师可以进一步引导: 你能写出二元一次方程x −y=0 的一个解吗? 你能把这个解用一个点表示出来吗? 它的解转化为形的桥梁是什么? 为什么桥梁是平面直角坐标系? 师生共同明确: 在平面直角坐标系中,一组有序数对表示一个点的坐标,二元一次方程x −y=0的解有无数个,尝试标出一些以方程x −y=0 的解为坐标的点.

设计意图类比实数通过数抽转化为点,建立知识与个人经验的关联性,让学生初步感受二元一次方程的解与平面直角坐标系中的点有关联.问题1 和教师的进一步引导使学生通过思考得到二元一次方程的解转化为形的路径和方法,进而展开自主探究.

2 潜行: 动手操作,化“数”为“形”

“潜行”位于U 型底部,是一个体验与探究的“层进式”学习过程,在这个过程中,学生通过GeoGebra 作图,探究二元一次方程的几何意义、二元一次方程组解的几何意义,感知数的理性,形的直观,体悟学科思想方法,积累从特殊到一般,从具体到抽象的基本活动经验,发展数学抽象素养.这个过程的推进要依靠层层递进、逐层深入的问题链来驱动.

2.1 二元一次方程的几何意义的探究

问题2 完成问题1,要经过哪些步骤?

师生活动学生独立思考,师生共同明确求解步骤: 第一步,在表1 中,写出方程x −y=0 的一些解,并把它们改写成有序数对;第二步,在平面直角坐标系中描出点(x,y).

表1

追问1 当我们描出的点的个数为无穷多时,你有什么发现?

师生活动学生独立用GeoGebra 作图,教师共享学生作品,并演示当描点个数足够多时,方程x −y=0 的解为坐标的点成了一条直线,如图2.

图2

追问2 过这些点中的任意两点作直线,你有什么发现?

师生活动学生独立用GeoGebra 作图.师生归纳: 过任意两点所作的直线重合,再次明确:x −y=0 的图象是一条直线,且这条直线的确定只用描两个点,即两点确定一条直线.

追问3 在这条直线上任取一点,这个点的坐标是方程x −y=0 的解吗?

师生活动学生完成后,教师用GeoGebra 作出同样的图象,拖拉直线上的点让学生观察点坐标变化后,x −y的值不变,得出: 以这个方程的解为坐标的点都在同一条直线上,这条直线上任意一点的坐标都是这个方程的解.从而得到以方程x −y=0 的解为坐标的点的全体叫做方程x −y=0 的图象,它的图象是一条直线.

问题3 同桌互相给出一个二元一次方程,并画出图象,你能得到什么结论?

师生活动学生完成GeoGebra 作图,同桌交流.师生共同明确: 任何一个二元一次方程的图象都是一条直线,且该直线可以通过与x轴,y轴的两个交点唯一确定.以一个二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上,这条直线上任意一点的坐标都是这个方程的解.

设计意图史宁中教授指出: 数学的结果是“看”出来的,而不是“证”出来的,虽然看出的数学结果不一定正确,但指引了数学研究的方向[3].在问题的驱动下,学生借助GeoGebra,经历列表(把解转化为有序数对)、描点、连线的作图过程,从极限和归纳推理两个维度“看”出二元一次方程x −y=0 的图象是一条直线.并通过GeoGebra 演示论证“以一个二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上,这条直线上任意一点的坐标都是这个方程的解”的充分必要性.问题3 通过同桌合作交流,归纳推理得到结论: 二元一次方程ax+by+c=0(a,b不同时为0)的图象是一条直线,这也为今后学习一次函数等埋下伏笔.在这个过程中,学生不但明白了研究一个问题的套路,而且初步体会到了极限的思想,两次经历了从特殊到一般的思维过程,感受了知识产生发展的神奇,发展了数学抽象素养.

2.2 二元一次方程组解的几何意义的探究

问题4 在同一平面直角坐标系中,画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象,你能得到什么结论?

师生活动学生独立完成GeoGebra 作图,如图3,交流讨论.若学生理解困难,教师可以引导思考方向: 观察两条直线相交的点的坐标与方程组解的关系.师生共同明确:两条直线相交于一点,且该点的坐标为二元一次方程组的解,即二元一次方程组解的几何意义是两条直线的交点.同时,也让学生从图形角度认识解二元一次方程组就是求两个二元一次方程的公共解.

图3

问题5 请用图象法解下列方程组.

师生活动4 人小组分工完成,2 人解方程组(1),另2 人解方程组(2),交流讨论,得出结论: 方程组(1)无解,方程组(2)有无数解,如图4 和图5.

图4

图5

师生进一步明确: 若两条直线交于一点,则方程组有唯一解;若两条直线平行,则方程组无解;若两条直线重合,则方程组有无数解.

设计意图通过完成3 个方程组的图象解法,不但能够归纳出二元一次方程组解的几何意义是两条直线的交点,而且用几何直观解释了二元一次方程组的解存在3 种情形: 唯一解、无解和无数解.学生再次积累了从特殊到一般的活动经验,体会了数形结合的神奇,发展了数学抽象素养.

追问观察问题4 与问题5 的3 个方程组的结构,你能归纳出关于x,y的二元一次方程组

(a1,b1不同时为0;a2,b2不同时为0)解的一般结论吗?

师生活动小组充分交流讨论,代表作答,师生共同总结归纳,明确结论,教师可以进一步引导其演绎证明:

(1) 若b1≠ 0,b2≠ 0,①× b2−②× b1,得(a1b2−a2b1)x=b2c1−b1c2,当a1b2≠a2b1时,方程组有唯一解;当a1b2=a2b1,b2c1≠b1c2时,方程组无解;当a1b2=a2b1,b2c1=b1c2时,方程组有无数解.

(2)若b1=b2=0,a1≠ 0,a2≠ 0,当a2c1≠a1c2时,方程组无解;当a2c1=a1c2时,方程组有无数解.

设计意图通过对3 个方程组的观察,由具体到抽象,归纳出二元一次方程组解的一般结论,并通过符号演绎证明,到达更高级别的抽象,学生的数学抽象素养得以培养.

3 上浮: 由“形”入“数”,升华表达

上浮是U 型模式的出口,是学生对知识的个性化理解,自我建构并获得知识的意义增值.

问题6 请根据两条直线的位置关系,设计一道方程组,并作图验证.

设计意图通过“潜行”,学生借助GeoGebra 作图,更多地感知了由“数”的抽象到“形”的直观.问题6 则由“形”到“数”,让学生体会到“数无形时少直觉,形少数时难入微”的辩证关系,以及感性思维与理性思维相互转化的过程.同时开放性问题的设计考察学生的创新意识.

教师点评由于本题是道开放性的试题,学生设计的方程组基本上包含了唯一解,无解和无数解的情况.其中有学生能够根据两直线相交或平行的特殊位置关系,设计特殊且具有一般性的方程组,比如如图6 和图7,说明学生体悟到了分类讨论和数形结合的思想方法,积累了从具体到抽象的活动经验,发展了几何直观的抽象素养.

图6

图7

史宁中教授把数学基本思想归结为三个核心要素: 抽象、推理、模型[3],其中抽象是形成理性思维的基础.但知识不能直接转化为素养,从文中可以看出基于深度学习的U 型模式是从知识到素养的通道,并且具有高度的可操作性,能够促进数学抽象素养的落地.需要注意的是,不是每个知识都适合发展抽象素养,教师要善于发掘适合发展抽象素养的知识载体,本节活动课“二元一次方程组解的几何意义”为发展抽象素养提供了良好的土壤.另外,最初的抽象是基于直观的,教师要积极探索信息技术与学科知识融合,本文借助GeoGebra,学生在经历还原与下沉、体验与探究、反思与上浮的U 型过程中,数学抽象素养自然就达成了.