“大概念”引领下的主题复习课教学实践——以“角相等存在性问题”为例

广东省深圳市宝安中学(集团)初中部(518100)黄祖俊

“大概念”的核心是关注碎片、零散知识背后的结构、联系和规律,追求知识能力的应用和迁移,把知识和能力转化为一种价值力量.以学科大概念来统摄和组织教学内容将更能充分的揭示知识之间的纵横关系,有利于培养学生利用已有知识解决问题,进而生成新知识的能力.图形与几何中的“大概念”是指研究一类几何图形的思路和方法.主题复习课是学生感悟、体会、理解应用“大概念”的重要课型和载体.在“大概念”引领下,从整体上设计主题复习课相关内容,避免知识碎片化,真正关注问题提出与解决,让学生经历前后一致、逻辑连贯的数学思考和探索过程,促进深度学习的发生,实现学习路径、方法的概括与迁移,提升学生数学核心素养.

笔者以九年级下册主题复习课“角相等的存在性问题”为例,谈谈对主题复习课的实践与思考.

1 教学设计原由

“大概念”引领下的单元整体教学是实现数学教学学科育人价值、发展学生核心素养的有效途径.主题复习课是单元整体教学中的重要板块,它是研究一类几何图形思路与方法的形成、巩固和迁移的重要载体.如何确定复习课的主题?如何优化设计主题复习课? 如何提高主题复习课中学生参与度和学习效率? 如何在主题复习课中促进学生的关键能力提升和核心素养的形成与发展? 等等都非常值得思考和研究.

角是构成几何图形的基本要素,与角相关的问题是几何学习中常见的问题之一.从学生认知几何对象的基本方法分析,一般先研究角的形状,位置和大小,然后再研究角之间的关系.当我们从角的内部,从数量关系的角度去研究角的和、差、倍、分关系时,学生掌握还是不错的,但是从角的位置关系的角度去研究两个角的关系,特别是相等关系时,需要学生在几何图形中找到相等角,用线段的数量关系去表示角的大小,并进行几何图形的构造和变化,许多学生没有理解掌握和正确运用.从有关角元素的知识分布分析,初中阶段的关于两个角相等的知识点分布广泛且相对零散,学习时间贯穿初中三年,有关角相等的问题情境多样,解决方法众多,涉及的相关概念和定理较多.学生在较复杂情境中提取基本图形,并准确灵活运用角的相关知识和方法解决角相等问题,存在较大的困难.

“大概念”引领下的主题复习课教学设计有助于引导学生整合零散的知识,联结新旧知识,在问题情境中理解知识内在的生成联系和逻辑关系,寻找、归纳问题解决的方法,并将方法迁移应用,培养学生解决问题的能力,实现从知识到能力,再到素养的提升.

综上,分析两个相等角的位置关系,提取相关基本图形,用线段的数量关系去表示角的大小,并进行几何图形的构造和变化,这是解决角相等存在性问题中可迁移的路径和方法,即为引领本节主题复习课的“大概念”.

2 教学目标分析

主题复习课教学是核心知识和问题解决来确定教学目标,把发展数学核心素养作为主题复习课的顶层目标,但高度凝练和概括的核心素养与具体的学科知识之间存在较大的差异和断层,“大概念”就可以很好的作为连接学科素养与学科知识的桥梁.“大概念”引领下的主题教学设计引导学生充分体会知识的整体性、延续性和一致性,分析归纳解决问题的思路和方法.在本课教学中,设置了一串具有逻辑关联、难度递进关系的问题驱动教学,鼓励引导学生作出示意图,从作一个角等于已知角的基本作图开始,引导学生分析两个相等角的位置关系特征,逐步建立在角相等条件下的知识结构网图,理顺各知识之间的逻辑关系,概括提炼解决两个角相等问题的一般路径和方法,进而达到方法迁移与应用,促进学生素养的形成和提升.基于以上分析,确定本节主题复习课教学目标:

(1)能根据问题情境画出两个角相等的示意图,会进行两个角相等的合情推理;

(2)经历两个角相等相关问题的探究过程,构建角相等问题的知识结构网图,学会分析图形中相等角的位置特征,提取归纳基本图形,学会用线段的数量关系去表示角的大小,并进行基本图形的构造和变化,形成解决两个角相等问题的一般路径和方法并迁移应用;

(3)培养提高学生的运算能力,体会数形结合、特殊到一般的数学思想,提升学生几何直观意识、模型观念和应用意识.

教学重点经历两个角相等的相关问题的探究过程,构建有关角相等问题的知识结构网图,学会分析图形中相等角的位置特征,提取归纳基本图形,学会用线段的数量关系去表示角的大小,并进行基本图形的构造和变化,形成解决两个角相等问题的一般路径和方法.

教学难点学用线段的数量关系去表示角的大小,进行基本图形的构造和变化,形成解决两个角相等问题的一般路径和方法并迁移应用.

3 教学过程与实施

教学准备:①课前任务:学生制作关于两个角相等的知识导图;②课堂学习任务单;③学习工具:直尺、铅笔、双色笔(用于标识和记录)

3.1 知识回顾,立足基础

图1

图1-1

问题1如图1,已知∠ABC,请作出∠DEF=∠ABC(画出示意图).

大部分学生很快地作出图1-1 的示意图.

追问1同学们还可以作出其他特殊位置的两个角相等吗? (画出示意图)

图1-2-1

图1-2-2

图1-2-3

图1-3

图1-4

图1-5

教学解读让学生画出不同情况下两个角相等的几何图形,引导学生观察:所画图形中两个角的位置特征,讨论怎样将画的图形进行分类? 以怎样的标准进行分类? 让学生经历实践操作,观察验证,交流讨论的学习过程,复习回顾两个角相等相关知识和基本图形,进而从相等角的顶点和两边去分析两个相等角的位置特征,整体上理解两个角相等分类的方法,培养学生从知识的本源出发,有逻辑的分析问题的能力.

追问2根据上面画出的几何图形,你可以联系到哪些与角相等有关的性质与定理呢? 请将自己上课前画的知识导图补充完善.

教学解读引导学生将知识导图补充完善,从几何图形去联想、梳理角相等的相关知识,帮助学生将碎片化的知识系统化,培养学生的几何直观、合情推理、逻辑推理能力,以更高的视角分析两个角相等的问题,提升学生发现和解决问题的能力.由图1-2-1 和1-2-2 回顾:平行线的性质与判断,图1-2-3 回顾:平行四边形的性质与判断;图1-3 回顾:角平分线的性质与判定;图1-4 回顾:等腰三角形的性质与判定;图1-5 回顾:对顶角相等.

3.2 因势利导,学会构造

问题2如图2,已 知RtΔABC,∠C=90°,作∠DEF=∠B,且满足点E与点B重合,∠DEF与∠B有公共边.

图2

图2-1

图2-2

图2-3

教学解读引导学生在直角三角形中按要求作出相等的角,巩固问题1 中的基本图形,引入有公共边的全等三角形和相似三角形知识,让学生作出如图2-1 至图2-3 的图形(表示角的字母位置会有差异),引导学生说出如何作出相等角,尝试从角的顶点和边分析相等角的位置特征.

图2-4

图2-5

追问1如果将问题2 中的“点E与点B重合,∠DEF与∠B有公共边”改成“点E与点A重合,∠DEF与∠A有公共边”请作出相应图形,说出由作图联想到的相等角的相关知识.

图2-6

图2-7

教学解读再次引导学生从角的顶点和边分析角的位置特征,作出所有可能图形,说明构造相等角的相关知识,感受体会基本图形的变化和构造,继续完善知识导图.图2-4 回顾平行线;图2-5 回顾等腰三角形;图2-6 和图2-7 回顾子母型相似三角形.

追问2如果将问题2 中的“点E与点B重合,∠DEF与∠B有公共边”改成“点E与点C重合,∠DEF与∠C有公共边”,你能作出相应图形吗? 请作出示意图.

图2-8

图2-9

图2-10

图2-11

图3

教学解读引导学生识别和提炼基本图形,有意识的进行基本图形的构造和变化,让学生体验相等角的构造方法并初步尝试迁移.图2-10 和图2-11 联想子母型相似三角形.

追问3如果将问题2 中的“RTΔABC,∠C=90°”改成“ΔABC”,如图3,你还能按要求作出相等的角吗?

教学解读让学生经历特殊到一般的作图过程,体会研究几何问题的基本路径和方法的一致性,进一步提升学生相等角的图形构造能力(作图结果不进行图示).

追问4已知RTΔABC,∠C=90°,添加条件“AC=2,BC=4”,能否在图2-5、图2-6 和图2-11 中分别计算AF长度呢?

教学解读在学生能识别、提取、构造基本图形的基础上,给几何图形的边元素赋值,引导学生体会由“形”到“数”,用边的数量关系表示角的大小,运用角相等的相关知识进行推理计算,用“数”解“形”的方法,感受数形结合的魅力,促使学生思维进阶,为下一环节做好充分铺垫.

3.3 情境转换,方法形成

问题3如图4,已知直线AB:y=+2 分别交x轴和y轴于B、A两点,请在y轴上找点D,使得∠DBA=∠ABO(作出示意图).

教学解读让学生在一次函数情境中按要求作出相等的角,引导学生分类讨论,培养思维严谨性.即点D在AB下方的y轴上(与点O重合)和AB边上方y轴上(如图4-1).

图4

图4-1

图4-2

追问1在问题3 的图4-1 中,怎样求直线AB上方点D的坐标呢?

图4-3

图4-4

图4-5

教学解读引导学生依据基本图形进行构造和变化,用线段的数量关系表示角的大小,结合全等三角形、相似三角形、勾股定理、三角函数进行推理计算,进一步体验数形结合,用“数”解“形”,积累经验,形成方法.教学中留足充分时间让学生思考并分享,分享厘清关键思维节点:如何充分运用角相等的条件进行图形的构造? 怎样表示相关的线段? 如何确定点D的坐标?

生4:在图 4-5,作DH⊥AB,由∠DAH=∠BAO,∠DHA=∠AOB=90°,得ΔDAH∽ΔBAO,∠HDA=∠ABO=∠DBA,易证ΔDAH∽ΔBDH,易求DA和点D坐标.

学生分享后,引导学生归纳思路:利用角相等条件构造基本图形,将“形”构造后,设未知数表示相关线段,运用图形的性质转化为“数”的运算,通过建立方程求解.提炼方法:①作出示意图,分类讨论;②联想基本图形进行构造;③运用相似三角形性质或勾股定理建立方程解答.

通过引导学生进行思路归纳、方法提炼,助力学生知识与方法内化,提高学生模型观念和逻辑推理能力,促使学生思维和能力进阶,知识和方法正向迁移.

追问2角的大小我们还可以用学过的什么知识来刻画和描述? 在本问题中的方法分享中,解答过程能否进行优化?可怎样优化?

教学解读引导学生优化解题过程,用锐角三角函数刻画角的大小,提炼出最常用的边角关系:两个角相等可以理解为这两个角的正切值相等,找到数形结合的桥梁,简化解题过程,提升思维能力.以图4-5 为例进行阐述分析.

3.4 学以致用,能力迁移

问题4如图5,已知抛物线:y=+2 分别交x轴于B、C两点,交y轴于点A,请在抛物线上找点D,使得∠DAB=∠CBA.

图5

图5-1

教学解读在抛物线情境中解决角相等存在性问题,引导学生学会从复杂图形中提取基本图形,将解决角相等问题的方法迁移运用.此问题中,学生较易分类,易求点D在AB上方时的坐标,而在求AB下方的点D坐标时,会出现不同的切入点和解决方法,让学生分享思路和方法,在分享的过程中比较各种方法的难易程度、实际运用中的优缺点,培养学生的批判性思维,发展学生核心素养.让学生分享以下思路方法:

图5-2

图5-3

生5:如图5-1,记AD与x轴的交点为E,利用等腰ΔABE和RTΔAEO,可求点E坐标和直线AE,联立抛物线解析式组成方程组可求出点D坐标;

生6:如图5-2,作BF⊥AB,依据基本图形构造K 型相似三角形,求点F坐标和直线AF,联立抛物线解析式可求出点D坐标;

生7:如图5-3,作BG⊥AD,依据基本图形构造K 型相似三角形,求点G坐标和直线AG,联立抛物线解析式可求出点D坐标;

通过比较后发现:法1 易理解,辅助线少,法2 和法3 需要构造基本图形利用相似三角形或等角的三角函数进行计算.

3.5 精设作业,目标达成

作业1.如图6,在边长为1 的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点O,则tan∠AOD=____.

图6

图7

图8

作业2.如图7,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将ΔBCE绕点C顺时针旋转到ΔDCF的位置,并延长BE交DF于点G.

(1)求证:ΔBDG∽ΔDEG;(2)若EG·BG=4,求BE的长.

作业3.如图8,已知抛物线:y=+2 分别交x轴于B、C两点,交y轴于点A,抛物线对称轴上有点H(-,-2),连接AH,请在抛物线上找点P,使得∠PHA=∠ABO.

4 教学思考

4.1 切合学情基础,明确复习主题

要设计一节高效的主题复习课,需要教师深入理解教学内容,更需要教师把握学情,切合学生实际需要,选择符合学情的复习主题.从教学内容来看,角是几何图形的基本元素之一,角的相关知识呈螺旋式上升分布在整个初中阶段的几何学习中,而两个角的大小比较关联到两个角的位置关系和线段的数量关系,问题背景多样,综合性强,是学生学习几何图形、形成关键能力的重要课时.从学生对角的相关知识的理解和实际运用的效果看,学生对角的相关知识的认知是比较零散,在解决问题时无法熟练运用知识贮备去正确快速的分析解决问题.所以本课主题确定为角相等的存在性问题,以便更好帮助引导学生归提炼出出解决角相等问题的路径和方法.

4.2 巧设问题驱动,推进深度学习

复习课的内容是学生学习过的知识,怎样的复习课才是高效率的? 怎样引导学生深度学习? 精心设置有逻辑层次、有系统结构、能引导学生深入探究的问题链来组织驱动课堂,便是较好的复习课模式.在主题复习课之前,需要教师理清并整合与复习主题相关的知识,分析各知识之间的难易程度、逻辑关系、纵横联系等,设置组织驱动课堂的问题链.复习课是学生学习过的知识和研究方法的延续和提升,是学生经历深度学习,提炼沉淀解决问题方法的重要机会,教师的问题设计要有一定的层次性和挑战性,激发学生的探究兴趣,引导学生学会知识迁移与应用,使有意义的学习活动真正发生,推进学生深度学习和思考.例如:本课中学生很容易按要求作出一个角等于已知角,但如何让学生做好图形分类,依据图形的特征进行构造并计算出正确答案,为此设计了四个层次分明的问题及追问,引领学生从作图、识图到构图、用图,再到方法归纳提炼和迁移应用,都在不断推动学生进行思考.

4.3 突显数形结合,培养关键能力

数学思想蕴含在知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法更高层次的抽象与概括.教师在几何课教学中应以数形结合思想贯穿课堂,让学生在积极参与教学活动的过程中逐步感悟数学思想,积累探究经验.本课例中所有问题都是围绕学生作图、识图、构图、用图这条主线进行,在学生能够作图和识图后,引导学进行图形构造,并给边元素赋值,从“数”的角度去解决“形”的问题,做到“数”能解“形”,在图形的应用中致力于培养学生数形结合分析问题、解决问题等关键能力.

4.4 以“大概念”引领,坚持素养导向

“大概念”在教学中不是由教师给出,也不是教师通过说教让学生习得.学科“大概念”应融入学生的课堂思考和探究活动中.以“大概念”引领,将学习内容串接与整合,建立学科知识与学科素养之间的桥梁,引导学生经历完整一致的探究过程,形成逻辑清晰的认知结构和解决问题的一般路径与方法.同时教师要有意识的扩展学生探究活动经验,引导学生将解决问题的一般路径和方法进行有意义的迁移,促使学生由“学会”提升到“会学”,提升学生学习能力,促进学生核心素养提升.