基于现状设计问题,培养学生数学思维——以函数概念为例

江苏省江浦高级中学文昌校区(211800)於有海

“函数概念”是苏教版《高中数学必修第一册》第五章的章起课,新版教科书删去了老版中的“映射”一节.这样,以映射作为基础来定义函数的概念就不再适用.对于这种新情况,我们的课堂教学该如何开展? 笔者通过学习章建跃博士的“三个理解”,并结合“函数概念”的课堂教学实践,收获的心得是:根据学生认知、思维的发展现状,为他们提供有关联的学习情境、设计合适的问题,使他们头脑中已有的认知结构与新知识进行相互作用,并通过学生积极的思维活动对新知识进行理解,将新知识同化到已有的认知结构中,或改变已有的认知结构以顺应新的知识,从而形成新的认知结构[1].

1 学生的现状

1.1 函数知识现状

函数概念是中学数学的核心概念,对于高一学生来讲,通过初中短暂的学习,初步接纳了“变量说”的描述性函数概念.了解了函数的三种表示方法;了解了一次函数、反比例函数和二次函数等具体函数模型,并借助它们的图象研究了这些函数的一些简单性质;没有涉及到因两个变量的取值范围不同,会产生不同函数的问题;初中所学的函数知识,与代数式、方程等联系紧密,多数学生认为函数就是含有x和y的等式,而对“变量关系”、“对应关系”等涉及函数本质的内容涉及较少.

1.2 思维发展现状

初中学生的认知发展已实现由具体运算向形式运算过渡,但并未成熟,具体运算思维仍在继续发挥作用.当学生进入高中学习,进行更高级别的抽象思维活动时,仍要借助于具体运算思维甚至是前运算思维,即已有活动经验对他们学习新的知识仍是必不可少的,学生需要在教师的引导下,经过有目的地、有规则地、长期性地训练,才能真正有效的发展形式运算,培养抽象思维,完善认知结构,提升思维水平,为进一步学习打好基础.

2 基于学生现状设计问题的案例

以函数概念的课堂教学为例

问题1初中时学过哪些函数? 请例举几个.

高中为什么还要学函数概念:初中时,学生已经接触到函数,对它有了一定地感性认识,但对函数的概念已经模糊,对函数的认识仅仅局限于几个常见的含有x和y关系的函数模型,约束了函数体系的形成,以及对函数性质研究的进一步开展.问题1 的设计是基于学生知识的现状,既可以避开回顾旧知的困难,又可以引起认知的冲突,为进一步建模和抽象埋下伏笔.下面是三个实例:

(1)一物体从静止开始下落,下落的距离y(单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2.

(2)GDP 即英文Gross Domestic Product 的缩写,也就是国内生产总值.它是宏观经济中最受关注的经济统计数字,因为它被认为是衡量国民经济发展情况最重要的一个指标.

表1 某市2012 年——2020 年GDP(亿元)

(3)图1 为某市一天24 小时内的气温变化.

问题2三个实例是函数吗? 请给出理由.

图1

找到高中函数概念的生长点:问题2 结合学生认知基础和认知特点,以三个有真实背景的实例作为载体,提出相应问题.先通过,引导学生运用初中函数的概念判断实例中的两个变量为函数关系,体会函数的本质.再通过,引发学生感知用集合表示变量取值范围的特点,这也是高中函数概念的生长点.再通过③,促使学生体会一个函数关系可以有不同的表达方式;体会并不是所有的函数都可以用解析式来表达,与学生原有的认知产生冲突(高中函数概念产生的必要性);体会用表格和图象表达对应关系的不可替代性,这也为后面归纳用字母f表示对应关系埋下伏笔.最后通过④引领学生尝试用集合与对应的语言清晰地表达函数,进而完成数学抽象的准备工作.

问题3①对问题2 ④进行归纳,你发现变量之间的函数关系有哪些共同特点?

②将由实例归纳出的共同属性与初中函数概念进行对比,你发现哪些变化?

③通过与问题3 ②的对比,你能(用集合与对应的语言)重新给函数下定义?

④如何使用符号语言表达x,y和f之间的关系?

高中函数的概念是什么:基于学生在问题1、2 的解决中获得的经验,并结合学生的思维特点.先通过①,引导学生有意识地去除非本质的东西,归纳出共同属性:(1)自变量与因变量的取值范围都可用两个非空数集A,B表示;(2)两个变量之间都有一个对应关系f(可以是解析式、表格或图象);(3)虽然对应关系的表示方法不尽相同,但是都具有以下特征:对于数集A中的任意一个x,按照对应关系f,在数集B中都有唯一确定的y与之对应.然而,由实例反映出的共同属性,重新定义函数,对学生来说依然是一个难点.再通过②,引导学生发现共同属性相对于初中函数概念有了几处变化:(1)将“某一变化过程”抽象为“对应关系f”;(2)将“两个变量x与y”抽象为“两个数”,将“两个数的变化范围”抽象为“两个非空数集A,B”;(3)将“两个数的对应特点”抽象为“数集A中的任意一个x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的y与之对应”,促使他们从集合与对应的角度观察已有认知中的函数,完成前后知识的同化和顺应,进而完成对③的回答,达到新的认知平衡,形成新的函数概念自然语言表达.为了实现函数概念的符号化(即④),可以引导学生对新的函数概念中x,y和f的逻辑关系进行分析,即自变量x在对应关系f的作用下,得到因变量y的值.这种逻辑关系可以用“y=f(x),x∈A”来表示.至此,引导学生经历“实例——辨别——归纳——联系(对比)——抽象——定义——表征”的概念形成过程,完成了对高中函数概念的概括.

问题4你认为y=是函数吗? 请说明理由.

高中函数的概念有何用:再一次让学生回答问题1 中先前未能解决的问题,既可以考查学生对新知的理解程度,促进他们对函数本质的把握,帮助他们积累运用新知的活动经验;又可以培养学生运用概念等“原始”知识解决陌生问题的思维方式.这种从一般再次回到特殊的设计与问题1 共同形成了一个闭环.

3 回顾反思

3.1 基于认知冲突,找准问题设计起点,开拓思维空间

学生从初中就开始接触到函数,对函数的概念有了一定地感性认识,对函数的理性认识也达到一定水平.因此,本节课应从“数学知识的现实状态”入手,充分利用函数概念在初高中阶段存在着的转换关系,激发学生的认知冲突,在学生认知发展过程中自然而然地提出的问题,激发学生将新知识和原有概念进行认知重构,整合进原有知识结构中.杨振宁先生曾指出,直觉与知识冲突时是学习的最好时机.这充分说明,教师基于学生的认知冲突设计问题,是激发学生探索未知事物的启动点,是保持学生持续学习意愿和热情的中继动力,是开拓学生思维空间的最佳时机.

3.2 基于知识生成,找准问题设计接点,培养思维品质

自然的课堂教学过程应包括两方面:一是前后知识的连贯性、生成性自然;二是学生思维过程性、基础性自然.因此,教师在实施课堂教学之前,务必基于学生的发展现状设计好问题:从宏观上为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程,使学生能“抬头看路”,知道往哪里走,这是课堂教学的重要任务;从微观上,引导学生通过类比、归纳,有序地完成知识的构建,使学生能“埋头思考”,理解知识的本质,这是知识生成的终极目标.教师通过这两个层面设计问题,引导学生展开对函数概念的学习,不仅深化了对函数概念的理解,也促进了思维的细腻化.

3.3 基于思维规律,找准问题设计落点,提升思维层次

培养学生的思维,首先要了解学生的思维规律及所处的阶段,只有深入了解学生的思维规律及所处的阶段,才能知道如何设计适合的问题来引导学生的思维活动,有的放矢地进行课堂教学.通过函数概念课堂教学的问题设计,笔者认为,教师要认识到学生思维发展的规律,要尊重学生现有的思维发展水平,并以此为依据,制订相应的教学流程和确定问题设计的落点,以激起学生认知上的不平衡,促使新旧知识相互作用,通过同化或顺应,使学生达到新的认知平衡,从而获得新知,提升学生思维的层次.众所周知,函数概念的抽象性和推理论证的逻辑性,历来是培养学生的抽象思维和逻辑推理能力的最好载体.