双减下的数学精简单元教学探究——以排列组合教学为例

安徽省萧县中学(235200)路召飞 殷雪剑

排列组合是每年高考的热点问题,因其解法灵活多样,变化无穷,所以给教学和学习增加了难度.本文结合双减下的精简教学的课堂探究,进行单元设计,提高课堂效率,进而提升数学核心素养的发展,构建了自然连贯的教学过程.

1 涂色问题的探讨

(1)直线型:用4 种不同的颜色,给图1 四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,相邻区域不同色,共有多少种涂法?

法一:分步乘法原理4×3×3×3=108“位置法”

法二:元素优先

由分类加法原理得24+72+12=108.

图1

图2

变式探究用4 种不同的颜色对图2 中的5 个区域涂色(4 种颜色全部用完),每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能同色,共有多少种不同的涂色方法?

（位置优先）(1)路线:4→2→1→3→5,4×3×2×(1×1+1×3)=96.

点睛区分13 同色、不同色.分步乘法原理

点睛分组分配

(2)环型

给图3 中四个区域分别涂上4 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域颜色不同,共有多少种涂色方案?

(位置优先)法1:分步乘法4×3×2×2=48.

路线:B→C→A→D,(B→A→C→D).

法2:路线A→B→D→C,(若A→B→C→D则同法一).

AD同色4×3×1×2=24;AD不同色4×3×2×1=24,共有48 种涂色方案.

在位置优先的原则下注意路线,尽量回避“对称”的走法.

元素优先法

图3

图4

法3:用3 色涂完AD同色=24;用4 色涂完=24,共有48 种涂色方案.

变式15 种不同颜色呢? 是180.

变式2如图4 一环形花坛分成A、B、C、D四块,现有4 种不同的花供选种,要求在每块里种1 种花,且相邻的2 块种不同的花,则有多少种不同的种法? 是84.

方法点睛在涂色问题上注意两种不同方法的思路,找到突破口,才能找到最佳的解题方法.

2 排列站队问题的探究

7 人站成一排,按如下方式站队,共有多少种不同的方法?

(1)甲乙两人相邻;

(2)甲乙两人不相邻;

(3)甲乙丙排序一定时;

(4)甲在乙的右边(不一定相邻);

(5)7 人站成圆形;

(6)甲不在首位;

(7)甲既不在首位,又不在末位;

(8)甲不在首位,乙不在末位.

方法点睛这是排列中的常规问题,理解题型,注意特殊元素、特殊位置优先的原则即可.

3 分组与分配问题的探究

现有6 本不同的书,按如下方式分配,各有多少种分法?

①平均分成3 份;

②平均分给甲、乙、丙3 名同学;

③分成一份1 本,一份2 本,一份3 本;

④甲、乙、丙三人中一人1 本,一人2 本,一人3 本;

⑤甲1 本,乙2 本,丙3 本;

⑥甲4 本,乙丙各一本;

⑦一人4 本,其余两人各1 本;

⑧分给5 人,每人至少1 本;

⑨分给4 人,每人至少1 本.

点评既要注意均分还是不均分的问题,还要看有序还是无序问题,分组分配中常见的是先分组再分配问题.

练习变式1有编号分别为1、2、3、4 的4 个不同盒子和4 个不同的小球,把小球全部放入盒子内,问:

(1)共有多少种方法;答案是44.

(2)若每个盒子内放一个小球;答案是

(3)恰有一个空盒子;答案是

(5)若每个盒子内放1 个小球,恰有一球的编号与盒子编号相同.答案是8.

变式2上题中的4 个小球完全相同.

(3)每个盒子内放1 个球;答案是1.

(4)若有20 个相同小球,每个盒子内的球数不少于它的编号数.答案是=286.

隔板问题将n个相同的元素分配给m(m ＜n)个不同的对象,每个对象至少含一个元素问题.即:在n个元素的n-1 个间隔中放m-1 块隔板,将其分为m份即可,共有

反馈练习(1)将5 个相同的小球放入3 个不同的盒子,每个盒子至少有一个小球,共有多少中方法? 答案是=6.

(2)某地区有9 所学校,现有先进教师名额11 个,要求每所学校至少一个名额,共有多少种不同分配方法? 答案是=45.

(3)若x,y,z∈N+,则有x+y+z=10 的解有多少? 答案是=36.

(4)变3x,y,z∈N,则有x+y+z=10 的解有多少?答案是=66(先借).

4 在立体几何中的应用

(1)某城市纵向有6 条道路,横向有5 条道路,构成如图所示的矩形道路图,则从A到B的最短路线共有多少条?(如图5)

方法点睛从A到B共分9 步,需要5 步横向,4 步纵向的,所以共有=126 条.

图5

图6

图7

(2)在图6 的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3 个,使它们和点P在同一平面内,则有多少种不同的取法?

方法点睛第一类4 个侧面,第二类平面PBD与平面PAC2,第三类PA与BC、CD的中点构成两个平面,4,所以共有4++4=56.

(3)如图7,阴影部分由方格纸上3 个小方格组成,称为这样的图案为L 形,现有3×5 个小小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案的个数有多少?

分析每相邻4 个方格可以有4 个L,图中共有8 个相邻的4 方格,所以共有4×8=32.

方法点睛在几何图形中构造出不同的分类模型是解题的关键.

5 教学思考

单元教学是基于培养学生的核心素养下的新课标要求,它将新的教学理念落实在每节课堂上,彰显数学的整体性与逻辑性,找到数学核心素养的孕育点,在不断的摸索与实践中,提高我们的课堂教学效率.