在直观想象素养导向下对“弦长公式”的巧证和教学建议

广东省广州市南沙东涌中学(511453)江文钎

1 问题的提出

1.1 案例分析

高二理科的一道月考题:(2013 年浙江数学(文科)22 题)

已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1),

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点F作直线交抛物线C于A、B两点.若直线AO、BO分别交直线l:y=x-2于M、N两点,求|MN|的最小值.

(1)略;

这样|MN|的表达式就较为容易得到,接下来就可以运用基本不等式进行最小值的求解了.

学生为什么想不到运用“弦长公式”来解决这一问题呢?经过调查询问,得知学生都认为|MN|不是“弦长”,只是线段,故没有想到“弦长”公式.那什么才是“弦长”? 学生说:当直线与曲线相交于两点,所截得的线段才叫“弦长”.学生补充说:也就是弦长的两个端点是直线与曲线相交得到的.学生为什么会这样“说”呢?“弦长”的本质就是线段,学生为什么产生这样的误解?

1.2 问题的“祸根”分析

弦长公式是在学习选修2-1(或者1-1)的直线与圆锥曲线时提出的.但人教版的教材中只有求弦长的问题,而没有给出弦长公式,甚至在教材的第60 页例6 中只给出了两点间的距离公式来解决求弦长的问题.那么“弦长公式”是怎样来得?

在知网上进行搜索,有大量的文章对“弦长公式”进行了推导证明.无论是钟德光和关丽娜两位老师在2017 年第二期的《中学教研(数学)》中发表的“椭圆一般弦长公式的妙推及应用”,还是邹成全老师在2014 年3 月上第485 期(高中)《中学生数学》中发表的“由习题谈弦长公式”,都存在着(或者说是我们大部分老师在授课中存在的)两个导致学生误解“弦长公式”的祸根:

第一,设定的前提条件:“直线l与曲线C相交于A、B两点”设“A(x1,y1),B(x2,y2)”,这样的条件设定把学生的思维固化了:都认为这两个点必须是由直线l与曲线C相交得到的;

第二,无论是采用“利用直线方程代入消元”,还是“仿射变换”等方法来证明的过程中都离开了“形”,更多的是通过“数”的运算进行推导证明.这样的推导过程让学生脱离了“弦长”的本质——线段,加深了学生的误解“两个点必须是由直线l与曲线C相交得到”.

采用同一锚杆在干燥的实验室环境下分别对金属托盘与金属托盘+木垫板进行转矩转化试验，试验结果见表1，根据试验结果绘制预紧转矩-预紧力转化关系曲线，如图6所示。

所以这个“弦长公式”推导过程,就是学生产生误区的地方,下面在直观想象素养导向下对“弦长公式”再证明,让公式回归其本质,让学生能灵活运用公式解决问题.

2 在直观想象素养导向下对“弦长公式”的巧推

2.1 直观想象核心素养的内涵

《普通高中数学课程标准(2017 年版)》指出:直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.其主要包括:借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.

《普通高中数学课程标准(2017 年版)》还指出:通过高中数学课程的学习,学生能提高数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力;形成数学直观,在具体的情景中感悟事物的本质.面对问题,要引导学生主动利用图形去描述和分析问题,借助几何直观把复杂数学问题简明化、形象化.以“形”的直观呈现问题的各种信息,借助“形”的直观理解抽象的“数”,依托“形”的直观产生对数量关系及事物本质属性的感知,几何直观有助于学生理解数学,寻求解决问题的思路.

2.2 “原”起两点间的距离公式

“弦长公式”的各种推导方法,都离开不了两点间的距离公式,也就是说“弦长公式”的母体就是两点间的距离公式,“弦长”就是两点间的距离.

平面上两点间的距离公式的推导过程就是数形结合的完美过程,充分体现了直观想象的核心素养.

2.3 巧推“弦长公式”,回归本质问题

图(1)

图(2)

我们变量的角度来再认识“弦长公式”,它只是把两点间的距离公式由四个变量x1,x2,y1,y2来表示,转化为由斜率、两个点的横或纵坐标三个变量来表示的一个过程.

下面借助两点间的距离公式推导过程中构建的这个直角三角形,“直观”再证明“弦长公式”.

这样的推导证明,不仅能让学生从旧知的基础构建新知,更能让学生认识到“弦长公式”的本质就是两点间的距离公式的另一种的表达形式.推导的过程渗透了“直观想象”的数学核心素养,以“形”的直观呈现问题的各种信息,借助“形”的直观理解抽象的“数”,依托“形”的直观产生对数量关系及事物本质属性的感知,有助于学生理解数学本质,并寻求解决问题的思路.

3 教学建议

在“弦长公式”推导的课堂上,我们应该抓住“弦长公式”的本质,它只是两点间的距离公式由四个变量x1,x2,y1,y2来表示,转化为由斜率、两个点的横或纵坐标三个变量来表示的另一种表达形式.我们要认真研读教材,教材没有给出“弦长公式”的说法,我们不应滥用这一名称和它常见的推导方法进而固化了学生的思维,产生了误解,给解题带来困惑.

另外,我们在推导出新的两点间的距离公式后,要设计好相关系统的训练题目,让学生对产生两点的不同条件进行归纳认识,从而能灵活的运用两点间的距离公式.

例如下面的例题:

例1两点都在圆锥曲线上,如人教版选修2-1 教材第48 页练习第7题

例2仅有一点在圆锥曲线上,如2012 年四川数学(理科)第21 题.如图,动点M到两定点A(-1,0)、B(2,0)构成ΔMAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C.

(Ⅰ)求轨迹C的方程;

(Ⅱ)设直线y=-2x+m与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|＜|PR|,求的取值范围.

例3两点都不在圆锥曲线上,2013 年浙江数学(文科)第22 题.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1).

(Ⅰ)求抛物线C的方程;

(Ⅱ)过点F作直线交抛物线C于A、B两点.若直线AO、BO分别交直线l:y=x-2于M、N两点,求|MN|的最小值.