一道数学中考题的教学导向

时间：2024-05-08

广东省中山市南头镇初级中学(528427)陈剑平

在阅第21 题的过程当中,本人有以下的发现和思考,首先第21 题主要考查求一次函数的解析式,在中考复习中也经常训练这类题,而且以专题形式重点训练,中考复习中一般训练这类题时题目本身会给出一次函数图象,然后再根据图象及题目的已知条件求解析式,但是这次考试却没有给出图象,由于试题没有给出图形,硬生生的把难度加大了很多,很多学生就卡在了因没图而无从下手,能下手的这小部分学生都只能想到一种情况而忽略了另一种情况,只有极小数的学生能画出两种情况的图象并正确解答,大部分学生在答题过程当中,不知道把图画出来让自己更容易做,以为题目没有图自己就不用画图,而函数题大多考查数形结合,没有图又怎么直观呢?

学生离开试室跟我说:“老师你知道吗? 第21 题第(2)小题考求一次函数解析式,但是题目没有图啊,我都不知道怎么做! 如果有图我应该会做,哎! 我这次只能拿到第(1)小题的分数了,而这只是第21 题,后面的就更难了,第24 题第(2)问要证圆的切线,又不把圆画出来,又把我卡住了,这次考得太糟! 数学严重拖后腿! ”而周围的同学也唉声叹气:“就是! 有图就好了! 有图我就会了! ”原来丢分的主要原因是题目无图,升中考题一反常态,改变出题套路,值得深思.

1 试题呈现

题目21.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k＞0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y=图象的一个交点为P(1,m).

(1)求m的值;

(2)若PA=2AB,求k的值.

其次，培训组的编制太少，极大影响培训效果。目前，B公司东北营销区域的培训组仅有2名培训人员，而目前正常运营的经销商合计100余个，在此种情况下，培训组人员必然无法针对所有的经销商进行兼顾，虽然有兼职内训师，但在工作节奏越来越快、工作压力越来越大的大环境下，对于培训工作，兼职内训师也多是应付了事。

分析(1)将y点的坐标代入反比例函数解析式y=计算即可求得m;

(2)分两种情况讨论,当一次函数过一、二、三象限时,画出图象,将PA=2AB转化为两个三角形相似,过P作PH⊥x轴交x轴于点H,证明ΔABO∽ΔAPH即可求出k和b的值;当一次函数过一、三、四象限时,画出图象,将PA=2AB转化为两个三角形相似,过点P作PQ⊥y轴于点Q,证明ΔBAO∽ΔBPQ即可求出k和b的值.

图1

2 猜想命题者的意图

本题主要考察了学生的数学运算、数学建模、逻辑推理和直观想象四大核心素养.

“无图”意在考查学生的数学建模能力和基本作图能力.本题没有给出完整的图形,需要学生根据题意自主画出需要的图形,通过“作图——识图——用图”解决问题.同时也暴露出教师的思想固化问题,最近10 年本市的升中考题都没出现过考函数而没有给出图形的解答题,所以在平时的训练中会忽略此类题型的训练.

(1)求m的值;意在考查学生的数学运算能力.只要将P点的坐标代入反比例函数解析式y=计算即可求得m,同时也为了照顾能力一般的同学能拿点分数,不至于整题得0 分.

“(2)若PA=2AB,求k的值.”意在考查学生的数学运算能力、数学建模能力、逻辑推理能力和直观想象能力和重要的解题思想“分类讨论”.学生要根据题意作出“当一次函数过一、二、三象限时”或“当一次函数过一、三、四象限时”的图像,分2 种情况求解,而解题关键是根据一次函数的图像添加辅助线构造相似三角形,将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比从而求得点B 的坐标,再用待定系数法求出一次函数的解析式.

总之,通过这道题能感受到命题者最终的意图就是希望广大数学教师在平时的教学过程中要重视学生数学核心素养的培养,分类讨论思想的渗透.

3 重视“无图分类讨论题”

“无图分类讨论题”蕴含了多种数学素养和分类讨论思想,以上第21 题就是很好的见证.但学生在平时的学习过程中无图且用分类讨论思想去解决的题确实有但并不常练,然而在人教版七年级数学上册就已经在渗透分类讨论思想.例如:第9 页的探究:“在数轴上,与原点距离是2 的点有几个?这些点各表示哪个数? ”;第10 页的思考:“设a表示一个数,-a一定是负数吗? ”;第15 页的拓广探索:“如果x的绝对值是2,那么x一定是2 吗? ”;第135 页的探究:“借助一副三角尺能画出15°,75°的角,用一副三角尺,你还能画出哪些度数的角? 试一试.”等.

而“无图分类讨论题”在人教版数学教材也有渗透,在七年级上册的第130 页综合运用中就出现了一道“无图分类讨论题”,第10 题:点A,B,C在同一条直线上,AB=3cm,BC=1cm.求AC的长.这是人教版初中数学教材中第一次出现此类题,也就是说,教材编写组已经有意识的把这类题放在初中几何入门阶段让学生首次接触,意在提醒执教者要重视此类题的解题思路、方法、技巧、能力的培养.

4 教好“无图分类讨论题”

如何教好此类题,以题目点A,B,C在同一条直线上,AB=3cm,BC=1cm.求AC的长.为例,这是教材中第一次出现的此类题,此题就是一头“领头羊”,具有引领和打基础的作用.课堂上“无图分类讨论题”的教法可分5 个环节进行:审题、作图、分类讨论、书写解答过程、归纳总结.

4.1 审题

苏霍姆林斯基说过:“让学生变聪明的方法不是补课,不是增加作业量,而是阅读,阅读,再阅读.”数学学习的根基也是阅读,只有将数学文字语言转化成数学符号语言,将数学符号语言转化成图形语言,才能顺利建构数学模型解决数学问题.在数学教学过程中,教师要引导学生仔细读题,深度读题,提高学生的审题能力.

审题,如何审? 一要慢读,不能看漏任何一个字、字母、符号;二要细审:审清每个字、每个符号.例如:在审第10 题时,先要把整个题阅读一遍,接着读“点A,B,C”就要明确是3个点,但3 个点位置不确定;读“同一条直线上”就要明确3个点的位置是在同一直线上;读“AB=3cm,BC=1cm”就要明确是2 条长度不同的线段,AB长,BC短,且线段AB和BC有相同的字母B,而线段的表示方法是以线段两端点的大写字母来表示的,所以这两条线段有公共的端点点B;读“求AC的长”要明确是求第三条线段AC的长,它是以点A和点C作为端点的一条线段.

4.2 作图

作图在数学解题过程中起着重要的作用,也是学生建模能力的一个重要体现.

分析此题时,可以边审题边画图,细分为几个小步骤进行,降低画图难度,更贴近学生的思维特点.例如:当审完“点A,B,C在同一条直线上”时,就要考虑A,B,C三点的不同位置而画出相应的图形:

图2

图3

先画A,B两点得下图:图2点A在左、点B在右或图3点B在左、点A在右,

再考虑点C的不同位置,先考虑点C在线段AB的左侧得图4 或图5,

图4

图5

其次考虑点C在线段AB上得图6 或图7,

图6

图7

最后考虑点C在线段AB的右侧得图8 或图9,

图8

图9

4.3 分类讨论

在数学解题过程中,遇到不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证解题完整,在分类讨论时分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复.

如上题当8 个图都画出来,就开始进行分类讨论.通过观察对比发现图4 与图9、图6 与图7、图8 与图5 情况是一样的,所以图形减少为只需考虑3 种情况的即可,也就是只考虑图4、图6、图8 或图5、图7、图9 即可.下面选择考虑图4、图6、图8 继续分析,当审完“AB=3cm,BC=1cm”时发现图4 中线段AB的长度比线段BC长度小,不符合题意,图4 的情况被排除,只有图6 和图8 符合题意,所以分两种情况讨论.

接着就要考虑分类的依据,若以点C在线段AB的内部或外部分两种情况,就会把不符合题意的图4 也包含在内,分类不精准;若以点C在线段AB上或点C在AB的延长线上,又或者以点C在点B的左侧或右侧来分两种情况,不但图6 和图8 完全符合题意,图5 和图7 也同样符合,所以当你画线段AB时无论点A在左、点B在右,还是B在左、点A在右,都不受影响,同样得出两种情况.