一道中考数学试题的解法与推广

江苏省南通市海门区东洲中学(226100)陈金晶

对典型试题,尤其是涉及核心知识内容的典型试题的剖析和思考更是必不可少的,通过对典型试题的多解探究,展开问题的来龙去脉和知识间的纵横联系,让学生站在一定的高度去思考问题,突出数学本质,使学生的思维得到升华,使知识达到融会贯通.唯有如此,无论考题的构思多么新颖,学生也能达到以不变应万变.以下就一道2021 年中考数学试题从解法、拓展等几方面进行探究,供参考.

1 试题呈现

2021 年江苏省连云港市中考第16 题:如图1,BE是ΔABC的中线,点F在BE上,延长AF交BC于点D,若BF=3FE,则=____.

2 试题评析

该试题考查相似三角形的判断和性质、平行线分线段成比例定理、等底同高三角形的性质及等量代换等基础知识,考查推理论证、数形结合能力及化归转化思想,是一道凸显数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等数学核心素养的优质试题.

图1

图2

3 解法探究

分析1过点E作EG//DC交AD于G,可得ΔAGE∽ΔADC,从而推得DC与GE的关系;再根据ΔGFE∽ΔDFB,推得DB与GE,最后借助中间量GE得到所求的结论.

图3

图4

4 方法点评

上述三种解法中,解法1 通过作平行线(辅助线),两次运用三角形相似,并运用等量代换,得到线段关系后求得结论,该解法属于解决试题的常规方法;解法2 通过作平行线(辅助线),并且设参,两次平行线分线段成比例定理,且运用等量代换,建立关于参数的等式后求得结论;解法3 利用三角形中线性质和三角形的面积等知识,设参后,将面积的等式关系转化为参数的等式关系求得结论.相比而言,方法1易于入手,方法2 设参通过参数的表达和运算能减少一些推理的量度,方法3 思维能力要求较高.总之,三种方法各具特色,无论运用哪一种方法都须有扎实的知识基础和推理论证的基本功已经良好的数学思维能力.

5 问题推广

将上述试题中的条件“BF=3FE”一般化,可推广为:

由于重心是三角形三条中线的交点,若将条件“BE是ΔABC的中线”变为一般过重心的直线,我们看得到“直线过重心”的一般性结论.

图5

图6

以上我们从多个角度探究了试题,这也启示我们:在变换几何教与学的过程中,要注重对图形生成过程的认识与理解,加强图形语言和符号语言的培养.同时,在解决问题时,尽可能找到各种方法的内在联系,将对思维的引导放在主导地位.