三分思想,精准突破——高考中导数的恒成立问题

广东省梅州市平远县教师发展中心(514699)余平

《普通高中数学课程标准》指出导数思想丰富,内涵深刻,应用广泛,对学生的直观想象,逻辑推理,数学抽象和数学运算等核心素养进行了有效的考查.恒成立问题是高中数学导数问题中常见的问题,涉及到函数的性质,图象,渗透着分类讨论思想、函数与方程的思想、化归思想、数形结合思想等思想方法[1].恒成立问题在高考中频频出现,是高考的一个重难点、热点问题.此类问题既含参数又含变量,可以考察学生的思维能力,和对数学知识的融会贯通的情况.结合高考题,各地模拟试题及课堂教学实例,对恒成立问题的处理策略,加以梳理总结如下:

1 分离参数,最值转化

恒成立的问题,若能将式中的参数分离出来,就可以把求参数范围的问题转化为求函数的最值问题[2],“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”,从而使问题迎刃而解.

例1若函数f(x)=a(x2-x)-lnx,(a∈R).

(1)若f(x)在x=1 处取得极值,求a的值.

(2)若f(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.

分析(1)a=1.

2 分离函数,数形结合

著名的数学家华罗庚先生,曾对数形结合思想,有过精彩入理的论述:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休! 恒成立问题中,没有办法分离出参数,这时候,我们可以考虑分离出两个恰当的函数,进行数形结合.

说明利用“分离函数”方法的关键是:构造的两个函数要恰当.一般情况下,一个为定函数,一个为动直线(过定点的直线系或者是平行直线系).数形结合与动态思维相结合,可以更高效的将数学思维和方法传达给学生,使学生更容易接受和理解,使学生体会数学的美妙之处.

3 分类讨论,各个击破

恒成立问题中若是无法分离参数或分离函数,我们可以借助分类讨论思想.分类讨论思想是生活中普遍使用的分析解决问题的思想,是有序的体现.分类讨论可以简化问题,分散难点,各个击破,最终使整个问题得以解决.

说明分类讨论的一般原则:不重不漏.所以分类时需要做到不重复,不遗漏,标准统一,分层不越级.

下面我们再来看一个例子:

例2若函数f(x)=ex-ax2-x-1,(a∈R).

(1)若a=0 时,求f(x)的单调性.

(2)若f(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.

解(1)略

(2)法一分离参数

当我们遇到恒成立问题时,我们可以从分离参数,分离函数,分类讨论三种方向去考虑,至于选择哪一种方法会比较好,我们具体问题具体分析:三分思想,精准突破,高考中导数的恒成立问题.

恒成立问题的实质是对参数的讨论,或者是对变量的讨论,涉及的知识面广,对能力要求高,它是高中数学教学中的一个重点和难点.同时体现着在变化中把握不变量的数学特征,有利于考察学生的综合解题能力,在培养数学思维的灵活性,创造性等方面起到了积极的作用,故而成为高考的热点.若能总结其变化规律,掌握解答恒成立问题的策略,定会收到事半功倍的效果.