数列型不等式的一般性求解策略

广东省佛山科学技术学院数学与大数据学院(528000)李静依

广东省佛山市第一中学(528000)吴统胜

数列型不等式的放缩问题常作为高考的中档题或压轴题,也是名校自主招生必考题,究其原因在于其不仅能很好地考查学生逻辑推理能力和创新能力,而且级数不等式的处理是高等数学特别重要的一部分,它是初等数学向高等数学跨越的基础.因此,研究数列型不等式的放缩问题显得很有必要.数列型不等式放缩的核心是数列的极限思想.新高考全国卷常将数列作为中档题考查,常涉及数列的求通项求和及数列型不等式的证明,浙江等好些省份还常将数列型不等式的证明作为压轴题来考查.本文将结合高考题及高考模拟题较系统地举例说明数列型不等式的一般性求解策略,对证明中涉及的常见放缩方法也进行了总结归纳,得到了一些易于操作的一般性、“套路化”的放缩策略和方法,希望对考生在解决这类问题时有所帮助.

1 一般性求解策略

策略1 先裂项或放缩为裂项相消求和证明

(1)直接裂项求和证明

(2)放缩为裂项相消求和化简证明

评析本例将通项放缩为裂项相消求和再化简证明,但需注意的是此类题目有些是将通项直接裂项相消,再求和化简证明,不需要将通项放缩,如前述例1,故要结合已知条件及要证结论进行判断并选择适当的求解策略.

策略2 放缩为等比数列求和化简证明

例4(2012 年高考广东省理科卷第21 题)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1(n∈N*),且a1,a2+5,a3成等差数列.

评析(方法提炼)放缩的目的是为了化简求和,本例中证法2 是先放缩为等比数列,再求和化简证明,但不易想到该放缩方法.证法1 则是通过分离出非负数项进行放缩,放缩为等比数列求和化简证明,此放缩方法可操作性强,可实现精准放缩,是通性通法.一般地,形如(a＞b＞1,an-bn＞c＞0)可放缩为

显然放得大了些,稍作调整即可得如下证明:

证法2分离出非负数项,放缩为等比数列求和化简证明

策略3 利用数学归纳法、不等式性质或基本不等式放缩证明

例6(2009 年高考山东省理科卷第20 题)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b＞0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.

即可得q=.由此便可实现快速精准放缩,得到该类数列不等式的程序化、套路化的证明方法,当然也要注意是从第1 项还是从第2 项开始放缩等细节问题.若考生平时没有掌握基本的放缩方法和技巧,是不可能在考试中快速解决该类数列不等式题型,从而导致在基础题及中档题失分,故在高考复习备考中要注意覆盖好数列型不等式的基本的放缩方法和技巧.

所以,当n=k+1 时,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

证法2利用不等式性质放缩证明