玩转数学 创新思维——以“探究多边形周长为定长的最大面积问题”为例

广东省广州市荔湾区西关广雅实验学校(510000)林丽珊

新课标(2022 年版)指出:“激发学习数学的兴趣,养成独立思考的习惯和合作交流的意愿;发展实践能力和创新精神,形成和发展核心素养”.在“玩转数学”活动过程中能培养学生的应用意识和创新意识,发展数学素养.

本文以“探究多边形周长为定长的最大面积问题”为例,构建数学实验活动,加强学生对“实验、猜测、推理、验证”等活动过程的探索,以实验活动来代替枯燥无味的理论学习,鼓励学生自己发现问题,提出问题,独立思考,学会思考,积极推理验证.通过实验活动使学生在提升思维水平的同时感受到数学的妙趣.下面为该玩转数学实验活动设计.

1 联系生活,培养问题意识

问题一条长4 米的绳子,围成一个正方形的面积大还是围成一个圆的面积大? 这个问题学生可以通过计算得出结论.学生提出疑问:同样的长度围成其他图形,结果会是怎样呢? 生活中常会见到一个这样的现象:牧羊人围羊圈时总是会围城一个圆形,而不是三角形、正方形等图形.这背后的原理十分简单,即:圆是周长一定围成面积最大的图形,意味着牧羊人可以用更少的材料做围栏而面积可以更大.但在这浅显易懂的道理背后又隐藏这什么真理? 数学家毕达哥斯拉曾经说过:“在数学的天地里,重要的不是咱们知道什么,而是咱们怎样知道什么.”于是,学生活动小组成员共同讨论,最终决定研究第一个问题:对于任意的多边形,周长一定时,什么时候面积最大? 通过讨论,教师加以引导,提出以下5 个小活动:①凸多边形与凹多边形对比;②引用性质;③三角形周长一定时面积最大情况;④四边形周长一定时面积最大情怳;5○n边形周长一定时面积最大情怳.

2 有序推理,培养抽象能力

学生通过现有掌握的知识,通过小组活动,逐一推理解决问题.小组研究报告片段如下:

(1)凸多边形与凹多边形

为了方便探究,我们将多边形分成凸多边形与凹多边形.

实际上,凸多边形绝对比凹多边形大,如图1,凹四边形ABCD,连接AC,作ΔAEC与ΔADC关于AC对称.

此时由对称性质有AD=AE,CD=CE,∵C凹四边形ABCD=AB+BC+CD+AD=AB+BC+CE+AE=C凸四边形ABCE,∵S凹四边形ABCD必定小于S凸四边形ABCE,∴在周长一定的情怳下,凹四边形ABCD的面积绝对比凸多边形ABCE小,所以周长一定时面积最大的四边形绝对是凸多边形.

进一步有对于任意凹多边形与凸多边形,周长一定时,面积最大的一定是凸多边形.

图1

图2

图3

(2)引用性质

如图2,若EC//AB,C是直线EC上一点,A、B为顶点,易知随着C位置的变化,SΔABC保持不变,但当AC=BC时,CΔABC取最小值.

(3)三角形

在此过程中,学生尝试学习几何画板,动手操作作图辅助解决问题.一开始我还有些担心学生不会用几何画板,但学生的动手能力其实挺不错,只要我们教师搭建平台给他们,相信他们就会有很大的潜力继续前进.下面是小组成员为了猜想而利用几何画板画出的图形.

图4

图5

图6

图7

实验活动是一种促进学生学习的有效方式.既培养学生的动手操作能力和思辨能力,又让学生在实验活动中拉近与数学的距离,从而提高学习效率,提升数学核心素养.

3 激发学习,培养探索精神

学生小组合作得到结论:对于任意的多边形,周长一定时,正多边形面积最大.接着,小组某成员又提出一个新问题:周长一定的正多边形,边数越大面积是否越大? 因为边数越大,正多边形就越来越趋近于圆形,离要解决的问题又近了一步.

在此活动过程中,小组成员遇到一个困难:如何得到正n多边形面积公式? 初中阶段的知识储备不够用.通过教师的引导和鼓励下,小组成员通过教师推荐的相关网络平台查阅资料,并且自学了反锐角三角函数.小组此阶段研究报告片段如下:

图8

图9

而学生对该活动研究的热情高涨远超教师的想象.兴趣是最好的教师,我们该认真思考在现有的数学教学内容之下,如何再开展一些有思考性又有点挑战性的研究活动,让学生动手动脑实操,让数学更具魅力.

图10

4 合理联想,发展创新意识

培养创新意识是现代数学教育的基本任务,独立思考、学会思考是创新的核心.在探究活动中,发散思维,合理联想,发挥想象力,培养数学核心素养.

活动小组成员通过活动研究解决问题后,一直以来对于数学的兴趣浓厚小组成员,为了解决更多的问题,积极查阅书籍、网络信息,自主学习了更多的高中知识,提出推论片段如下:

(1)曲线情怳

图11

图12

如图中的曲线,我们可以把曲线看作无限条线段的集合,那么该曲线可以看作是凹多边形,因为凸多边形比凹多边形面积大,可以把曲线整理成如下曲线

此时周长不变,面积更大,若面积取最大,那么组成这个曲线的点都共圆,那么此时该图形是一个圆.

(2)圆面积最大

结合研究活动一、二的结论,我们可以看出如果周长一定时,它是一个正n边形时,n越大,面积越大,很显然,随着n的变大,它的形状会越来越接近一个圆,可见圆是周长一定面积最大的图形.

图13

图14

(3)圆周率极限式

不妨使用计算器,此图为n=10000 的值,其数值较接近于π,当然,只有当n趋于无穷大时,公式的值才会无限趋于π.

5 总结反思,提升学习品质

通过这次的数学课题的研究与实践学习,学生感受到了数学王国的奇妙魅力,感受到了数学宇宙的浩瀚,学生表示:从这次课题研究活动中,收获的不仅仅是知识,通过制作ppt,撰写论文,与小组组员交流,还从实践中收获了创作方法和经验,更锻炼了自身的工作能力,团队协作能力.在研究过程中,还学习到了解决数学问题最有效的方法之一,学会变通,就好像通过一条路一样,如果这一条路走通,那可不可以绕个圈走另一条路呢? 解决数学问题也如此,如果这一种证明方法行不通,那可不可以换另一种方法呢? 在这次研究活动中,获益良多.

小组成员说:经过本次的数学课题研究活动,我收获颇丰,加深了我对数学学科的热爱,更加深刻的让我感受到了数学的魅力,我希望能继续参与往后类似的课题研究活动与下一次的玩转数学的活动,不断学习,不断前进,提高自我各方面的能力,在数学的海洋中遨游,探寻数学其中奇妙的奥秘.

6 运用实践,培养应用能力

新课标(2022 年版)指出:“义务教育数学课程以***新时代中国特色社会主义思想为指导,落实立德树人根本任务,致力于实现义务教育阶段的培养目标,使得人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展,逐步形成适应终身发展需要的核心素养”.因此,数学学习必须加强与生活实际的联系,让学生感受到生活中处处有数学.该探究活动到最后阶段,则是鼓励学生应把探究得到的成果应用于实践当中,服务生活、科技等方面.以下是应用举例:

(1)用料最少与变式

平时,我们生活中的运动水壶一般都是圆柱体,这就利用了柱体中表面积最少(不计上下)时圆柱体积最大的道理.

我们在生活中会建造围墙栅栏等柱体,为了保障自己的利益最大化,一般会事先估算材料的多少.

问题来了,假如我们有100m 的栅栏,我们可以围成的面积最大值是多少?

很明显,由于最大面积是圆,利用C=2πr=100m和S=πr2可以得Smax≈796.18m2因此,我们可以建立不等式0＜S≤来计算用料是否足够,如有10m 长的绳子,是否可以围成一个面积为8m2的图形? 我们可以把C=10m,S=8m2代入,有0＜8m2≤7.96m2,这是不可能的,所以无法围出来.

如果将结论变形,有圆是周长一定面积最小的图形.从而亦可以建立不等式0＜C≤来解决用料判断问题.

(2)受力小

我们常常用管道来运输水等流体,而将管道设计成柱体可以保障流量的足够,同时,所受到的粘滞阻力也达到最小,同时若把管道修得更接近完美的圆,管道四周所受到的液体压强也会越来越接近平衡状态,从而提高耐久度.

(3)圆形的优点

圆形具有面积大而周长小的特性.在安全的角度上,保证了使用者的安全,在容量的角度上,又做到节省材料,高耐久度的效果.而圆的各种变换图形所制成的各种精美的艺术品,又让我们的生活在方方面面充满数学之美.

7 结论

在日常教学中要注重把数学知识与实际生活联系起来,为学生提供丰富的感性认识和生活经验,使学生感到所学知识是有用的,能解决实际生活中的问题,从而激起他们热爱数学,乐于实践的愿望.

玩转数学是学生有意义地开展数学活动,在活动过程很好地展现了学生的学习力,很好地培养了学生的创新意识和应用能力.也激发了学生学习数学的兴趣,形成了新课标(2022 年版)总目标里提到的:“质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神”.同时也让教师对数学教育有了更深层次的思考与认识.