心中有模型方法自然来——“三垂直”相似模型在解中考题中的应用

时间：2024-05-08

重庆市永川北山中学校(402160)吴治新

《义务教育数学课程标准(2011 年版)》指出,在数学课程中,应当注重发展学生的模型思想.在几何解题中,几何模型能够引领解题方法与思路,是解决几何问题的“指南针”.本文以2021 年全国各地数学中考试题为例,说明“三垂直”相似模型在解题中的应用,供读者参考.

1 基本模型

如图1,点D,B,E在同一条直线上,AD⊥DE,CE⊥DE,垂足分别为D,E.当∠ABC=90°时,ΔADB∽ΔBEC.

证明因为∠ABC=90°,所以∠ABD+∠CBE=90°.因为AD⊥DE,CE⊥DE,所以∠ADB=∠CEB=90°.所以∠ABD+∠BAD=90°,所以∠CBE=∠BAD.所以ΔADB∽ΔBEC.

在图1中,有三组垂线,即AD⊥DE,CE⊥DE,AB⊥BC,不妨称此模型为“三垂直”相似模型.特别地,当AB=BC,或AD=BE,或BD=CE时,ΔADB∽=ΔBEC,此即“三垂直”全等模型,它是“三垂直”相似模型的一种特殊情形.

在解决与线段长度有关的几何问题时,若遇到直角,可考虑构造“三垂直”相似模型,然后利用相似三角形或全等三角形的性质解决问题.

图1

图2

2 应用举例

例1(2021 年四川省自贡市)如图2,在正方形ABCD中,AB=6,M是AD边上一点,AM:MD=1:2,将ΔBMA沿BM对折至ΔBMN,连接DN,则DN的长为()

分析根据已知条件,将ΔBMA沿BM对折至ΔBMN,其本质是ΔBMA和ΔBMN关于直线BM对称,由轴对称的性质,易知∠BNM=∠BAM=90°,从而易想到构造“三垂直”相似模型,然后利用相似三角形的性质列方程解决问题.

点评根据∠BNM=90°构造“三垂直”相似模型,然后利用相似三角形的性质列方程是解决问题的关键,“三垂直”相似模型在求解本题过程中起到了方法引领的作用.笔者认为,在解决几何问题的过程中不宜直接利用几何模型,但几何模型对解题方法和思路的引领作用不可忽视.

例2(2021 年广东省)如图3,边长为1 的正方形ABCD中,点E为AD的中点.连接BE,将ΔABE沿BE折叠得到ΔFBE,BF交AC于点G,求CG的长.

图3

图4

点评根据∠EFB=90°,易想到构造“三垂直”相似模型,这是利用相似三角形的判定与性质解决本题的一个突破口.欲求线段CG的长度,只需以线段CG为边构造直角三角形.图3 中构造了RtΔCGH,它是一个等腰直角三角形,只需求得边GH即可,利用相似三角形的性质可达到此目的.“三垂直”相似模型在求解本题过程中起到了方法引领的作用.

例3(2021 年浙江省嘉兴市)如图4,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,点E是AB上的动点,连接DE,点F,G分别是BC和DE的中点,连接AG,FG.当AG=FG时,线段DE的长为()

点评利用已知条件AG=FG和FG=判断ΔDEF是直角三角形是解决问题的关键.由∠DFE=90°易想到构造“三垂直”相似模型解决问题.“三垂直”相似模型在解决本题中起到了方法引领的作用,能够有效化解学生解决问题过程中的迷茫感.

问题提出例4(2021 年湖北省武汉市)如图5,在ΔABC和ΔDEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E在ΔABC内部,直线AD与BE交于点F,线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系?

问题探究(1)先将问题特殊化.如图6,当点D,F重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF,CF之间的数量关系;

(2)再探究一般情形.如图5,当点D,F不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.

问题拓展如图7,在ΔABC和ΔDEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=k·AC,EC=k·DC(k是常数),点E在ΔABC内部,直线AD与BE交于点F,直接写出一个等式,表示线段AF,BF,CF之间的数量关系.

图5

图6

图7

图9

图8

点评本题以两个具有公共直角顶点的等腰直角三角形为基本图形,主要考查全等三角形的判定与性质,根据已知条件∠ACB = 90°,BC = AC,易想到利用“三垂直”全等模型解决问题. 对学生而言,本题所涉及的图形较为复杂,求解过程中易产生无从下手的感觉,若学生熟悉“三垂直”全等模型,则求解过程顺理成章.

点评本题较为复杂,对学生而言具有极大的挑战性. 与问题探究(2)相比,此时具有公共直角顶点的直角三角形已不仅局限于等腰直角三角形,其更具有一般性.“三垂直”相似模型在解题过程中起到了方法引领的作用. 显然,当k =1时,即为问题探究(2).