基于“几何画板”的四类平均数的再探究*

甘肃省通渭县第二中学(743300)吴昱 王宗藩

1 引言

2020 年1 月,教育部颁布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(教学[2020]1 号),也称“强基计划”,旨在选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.数学学科是强基计划的首选科目.因此,“强基计划”必然对基础教育改革产生影响,如何在高中数学的常态教学中,培养有志于参加强基计划招生的学生,就成为数学教师思考的新课题.北京师范大学教育学部乔锦忠博士认为:“无论是优质学校,还是普通学校都要加强基础学科课程、课例和教学法的研究,尽快开发出能指导广大师生按照新要求开展教学实践活动的范例[1],”数学探究活动就是一种综合实践活动,是新时代数学教育倡导的重要主题,具体表现为:“发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论[2].”根据学生已学过的知识内容,适时地布置具有实践性、综合性、探究性的开放性作业,并给予一定程度的点拨、辅导,有利于学生学习方式的转变和科研意识的养成,是基础教育阶段培养数学拔尖人才的有效举措.围绕某一主题,若能借助信息技术开展数学实验进行探究活动,不仅使他们获得“四基”、提升“四能”,发展数学核心素养,而且提高了实践能力,创新意识以及信息技术素养.

图1

算术、几何、调和、平方平均数在中学数学中都会涉及,而且在不同版本教材的“基本不等式”内容中都有不同程度的呈现,如苏教版教材在章末复习题中“探究·拓展”栏目给出了四类平均数大小的梯形模型:“如图1,ABDC为梯形,其中AB=a,CD=b,设O为对角线的交点,GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线),KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段,EF表示平行于两底且过点O的线段,MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段[3]”.

调和平均数有现实背景,如汽车从甲地到乙地行驶的速度为a,从乙地到甲地行驶的速度为b,则汽车从甲地到乙地,又从乙地返回到甲地的平均速度是调和平均数.另外,“概率与统计”内容中的“标准差”其实就是n个“距离”(绝对离差)的平方平均数.

问题:在四类平均数有序性的基础上,分别计算它们由大到小的递差、递商以及不能轻易判断大小关系的两组不同平均数的和或积,能否发现恒成立的不等关系?

下面立足于数学研究的实验归纳和演绎论证两个侧面,先利用“几何画板”对提出的问题进行实验探究,再将探究结果用基本不等式予以证明.

2 实验设想

利用“几何画板”作出表示四类平均数大小关系的半圆模型,将代数问题几何化,借助软件“度量”、“计算”、“动画”等功能开展数学实验,发现变化中的不变性,提出猜想,最后尝试证明.

3 实验准备

图2

不等式中的四个代数式从左到右依次称为两个正数a,b的调和、几何、算术、平方平均数.在算术平均数为定值的情况下,随着|a-b|的增大,平方平均数也增大,而调和、几何平均数在减小.

4 实验结果及论证

4.1 四类平均数由大到小“递差”的探究

图3

可见,“基本不等式”中涉及的算术、几何平均数的差最大,而几何、调和平均数的差最小.

4.2 四类平均数有关“和”的结论

由实验一的结论,可得到如下两个恒成立的不等式:

即较大的平方平均数与较小的调和平均数的和不小于夹在它们之间的算术、几何平均数的和;两个正数的平方平均数与几何平均数的和不大于它们自身的和.

4.3 四类平均数“积”的探究

四类平均数中,调和平均数最小,平方平均数最大,那么,这二者的积与夹在它们之间的算术、几何平均数的积,孰大孰小?

图4

图5

4.4 四类平均数“商”的探究

四类平均数由大到小的“相互数量之比”有又有什么变化规律?

图6

在如图7 的“郑爽弦图”中,正方形EFGH(外大方)的面积与其内部8 个直角三角形的面积(朱实)之比不小于正方形ABCD的面积(弦实)与其内部4 个直角三角形面积之比的算术根.

图7

5 结束语

信息技术是一种认知工具,延伸了大脑的思维,改进了数学学习的方式.它强大的作图、度量、计算、动画、数据处理工具,使抽象的数学知识得到形象化的、动态的表示,成为“可视化”的对象,借助信息技术进行“数学实验”,使学生感受到数学知识的形成过程,“看出”概念之间的联系,发现一些新的结论,体现了数学研究从实验归纳到演绎论证的过程.因此,信息技术是为学生开启数学之门并进行数学研究的金钥匙.给学生布置探究性课题,教师必须胸有成竹.本案例的几何画板操作并不复杂,只要适时点拨,讲清楚实验的基本思路,学生是完全能够独立完成探究内容的.另一方面,探究结果的证明除了应用不等式的性质及必要的代数运算,关键步骤还是基本不等式的运用,所以是学生学习了“基本不等式”之后开展探究活动的一个案例.