探究奇妙的运动轨迹

湖北省赤壁市第一中学(437300)吴幼林

湖北省赤壁市实验中学(437300)李凯歌

1 研究背景

在科技馆中看到这样一个装置:平面上,一个动圆沿着一个定圆的内侧做滚动时,动圆上的一个定点的运动轨迹固定,且隐藏着规律.当动圆的半径为定圆半径的1/2 时,该定点的轨迹是一条线段;当动圆的半径为定圆半径的1/5 时,该定点的轨迹是一条五角星线.

动圆与定圆的半径比值为1/2 时,定点的轨迹是一条线段,1/5 时是一条五角星线,好像其中隐藏着规律,由此展开合理地猜想,当比值为1/3 时,轨迹会不会近似于三角形;1/4时,轨迹会不会近似于四边形? 我们对此展开了探究.

2.研究目的

探究动圆在定圆内侧滚动时,动圆上一定点的运动轨迹的规律,并在此过程中锻炼自主探究,分析思考,团队合作的能力.

3.研究内容

用观察法和代数法来进行探究:利用几何画板官方自带的内摆线模块,对观察到的轨迹图形化,说明方法的可行性,再设置半径的比值不同,来验证我们的猜想;从该实际问题中提取信息,进行数学建模,再通过理论推导,得到动圆周上一定点的轨迹方程,代入具体的半径比值,做出对应的图形,可以得出结论:当动圆的半径和定圆半径的比值是1/n时,动圆周上一定点的轨迹为n尖瓣线(近似于n边形).

4.研究方法

4.1 观察法

借助几何画板官方自带的内摆线模块,先通过设置半径的比值为1/2 和1/5 来对我们的发现的轨迹进行图形化:

发现得到了和科技馆装置中相同的轨迹;再设置半径的比值为1/3、1/4、1/6 时,轨迹如下:

通过观察得出的图形,比值为1/3 时,轨迹是三尖瓣线,1/4 时是星形线(四尖瓣线),1/5 时是五角星线(五尖瓣线),1/6 时是六角星线(六尖瓣线).

随着我们不断的该变比值1/n,发现呈现的轨迹的确是n尖瓣线.

4.2 用代数法探究

只是能验证半径的比值为1/2,1/3,1/4,1/5,1/6 时,轨迹符合我们的猜想,那么考虑该结论的普适性:当半径比值为1/n(n为任意数值)时,结论是否依然能成立.这就要求我们能够从数学的严密性出发,给出一般性的逻辑论证? 首先从该实际问题中提取信息,进行数学建模,我们将问题转化为:已知大圆半径为a,小圆半径为b,假设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,求动圆周上某一定点M的轨迹方程.

5.实验过程和结果

针对代数法得到的圆周上一定点的轨迹方程进行实验作图和结果分析.

5.1 实验作图

不妨设当b=1,做出不同比值的情况下对应的图形:

图(1)

图(2)

图(3)

图(4)

图(5)

5.2 结果分析

由上述5 副图形可得:半径比值为1/2 时,轨迹是一条线段;半径比值为1/3 时,轨迹是三尖瓣线;1/4 时,轨迹是星形线(四尖瓣线);1/5 时,轨迹是五角星线(五尖瓣线);1/6 时,轨迹是六角星线(六尖瓣线).

随着我们不断的该变比值1/n,发现呈现的轨迹的确是n尖瓣线.综合上述分析,用理论推导的形式,求出该轨迹方程的一般形式(a,b分别为大圆半径、小圆半径):(φ为参数)

同时取小圆半径与大圆半径比值为1/n(n=2,3,4,5,6),和观察法得出的图形及结论相同;推导出当半径比值为 1/n时,该轨迹的方程:(φ为参数)

6.分析和讨论

在以上分析中,我们默认定圆半径是动圆半径的整数倍这一情况,在思考之后,我们认为不够严谨,不是整数倍时的情况也需要进行分析,针对这一情况进行分析和讨论:

取半径为1/3.5,用观察法和代数法得到的如上图形.

当a=3.5b时,(φ为参数)

从右图可以看出,当定圆半径不是动圆半径的整数倍时,得到的轨迹图形不是近似于n边形(n尖瓣线),和研究目标不符,故在此不作深入讨论.

7.研究结论

根据以上分析,可以得出结论:当动圆的半径和定圆半径的比值是1/n(n为正整数)时,动圆周上一定点的轨迹为n尖瓣线(近似于n边形).

发现结论后,我们进行思考,科技馆中的装置是按照小圆和大圆的半径之比为1/2,1/5 时设计的,利用上述结论,如果按照1/3,1/4,1/6 来进行设计,定圆的内切圆上一动点的运动轨迹分别为三尖瓣线、四尖瓣线、六尖瓣线,是比原来还要好玩的装置.

而且考虑到实际装置的局限性,只能展示出几种半径比值的情况,为了更好地、更全面地向大家展示我们发现的规律,还可以在电脑上向大家演示,当输入的半径比值不同时,直接看到不同的、奇妙的轨迹图形.