一类圆锥曲线内接三角形的性质探究

广东省中山市桂山中学(528463) 刘丹峰

一、多维分析,横看成岭侧成峰

题目(2021-2022 学年佛山市普通高中高三教学质量检测)已知双曲线C的渐近线方程为且过点

(1)求C的方程;

(2)设点Q(1,0),直线x=t(t ∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证: 直线AD过定点.

解析(1)双曲线方程为以下考虑(2)的三种解法.

解法1(答案解析)设直线lBQ:x=my+1,B(x1,y1),D(x2,y2),A(x1,-y1),联立直线lBQ与C的方程,得(m2-3)y2+2my-2=0,则

直线AD的方程为由对称性易知直线AD所过定点在x轴上, 则令y= 0 得代入根与系数关系可求得直线AD过定点(3,0).

方法2(从直线AD切入探求斜率与截距关系)设直线lAD:y=kx+b,A(x1,y1),D(x2,y2),B(x1,-y1),联立lAD与C的方程, 得(1-3k2)x2-6kbx -3b2-3 = 0,则由B,D,Q三点共线可得kBQ=kDQ, 即化简可得y1+y2-x1y2-x2y1=0,代入根与系数关系可得b=-3k,即直线AD过定点(3,0).

解法3(运用双曲线的参数方程设点减少未知数)设两点式方程可化为(x2- x1)y -(y2- y1)x - x2y1+x1y2= 0, 代入A,D两点坐标可得0.由和差化积公式可得:

又因为A,B在直线x=t上, 所以α+β= 2π, 则代入①式后可得对比直线AD的方程系数后可得其中x=3,y=0,即直线AD经过定点(3,0).

圆锥曲线内接三角形三边关系是高考考查的热点问题.从近五全国I卷来看,在2017年、2018年以及2020年这三年的考题均可构建成由圆锥曲线导出的三条直线的斜率或过定点关系.题中的主干条件与结论或是斜率之和为定值时第三直线过定点, 或是斜率之积为定值时第三直线过定点.该题亦可提炼成双曲线内接三角形的三边关系,与高考题不同点在于,题中三角形为两边过定点,一边斜率为定值,由此提出以下几点思考.

(1)题中直线x=t是否可泛化成一般的平行直线系?

(2)题中直线x=t与定点Q之间是否存在关系?

(3)直线AD所过定点与定点Q之间是否存在关系?

(4)在椭圆和抛物线中是否也存在相应的关系?

二、引申触类,问渠哪得清如许

基于以上思考,将问题一般化后提出如下探究:

探究如图1 所示, 设双曲线方程为点P(λ,μ)不在双曲线上, 过点P的直线交双曲线于A,B两点,过点B作斜率为k的直线交双曲线于另一点C,则k为何值时, 直线AC经过定点?定点坐标是多少?

图1

因为直线AB经过点P(λ,μ), 所以= 0, 又因为直线BC斜率为k, 所以代入直线AB方程化简得

由两点确定一条直线可知该直线与直线AC重合,对比直线AC系数可得:

结论1设双曲线方程为点P(λ,μ)不在双曲线上,过点P的直线交双曲线于A,B两点,过点B作斜率k为的直线交双曲线于另一点C,当时,则直线AC经过定点特别地,当μ=0 时,此时斜率k不存在,直线AC经过定点

同理得到;

结论2设椭圆方程为点P(λ,μ)不在椭圆上,过点P的直线交椭圆于A,B两点,过点B作斜率为k的直线交椭圆于另一点C,当时, 则直线AC经过定点特别地, 当μ= 0 时, 此时斜率k不存在, 直线AC经过定点

结论3设抛物线方程为y2=2px,点P(λ,μ)不在抛物线上,过点P的直线交抛物线于A,B两点,过点B作斜率为k的直线交抛物线于另一点C,当时,则直线AC经过定点特别地,当μ=0 时,此时斜率k不存在,直线AC经过定点(-λ,0).

证明由抛物线的非齐次性可直接设则由(x2-x1)y-(y2-y1)x-x2y1+x1y2=0 可得

即(y1+y2)y -2px-y1y2= 0.同理lBC: (y2+y3)y -2px-y2y3= 0,lAC: (y1+y3)y-2px-y1y3= 0,由直线AB经过点P(λ,μ)得

三、寻根究底,为有源头活水来

注意到上述结论中直线所过定点和定点P(λ,μ)之间的关系,不难发现,在椭圆和双曲线中直线所过定点恰好在曲线的中心O与点P的连线上,抛物线的中心可以看作是在无穷远处,则定点与P点连线与x轴平行.而直线BC的斜率k也满足k·kOP=e2-1,如此巧合结论的背后其命题背景是什么呢?

文[1]中推论5 如下: 如图2, 四边形ABCD为椭圆的内接梯形,AD//BC,AC ∩BD=Q, 则点P的极线过点Q, 且与直线AD,BC平行.特别地, 如图3, 若BC//AD//y轴时, 点P的极线平行于y轴, 且与x轴的交点R也是AC,BD的交点.

图2

图3

根据以上推论不难发现,如图4 所示,在上述结论中,直线BC恰好与点P所对应的极线l平行,那么设极线l与直线AC交于点Q,由对称性易知,Q为直线AC所过定点,由此可得如下结论.

图4

结论4椭圆方程为点P(λ,μ)不在椭圆上,过点P的直线交椭圆于A,B两点,过点B作斜率为k的直线交椭圆于另一点C,若时,则直线AC经过定点,且该定点为直线OP与P点所对应极线的交点.

结论5双曲线方程为点P(λ,μ)不在双曲线上,过点P的直线交双曲线于A,B两点,过点B作斜率为k的直线交双曲线于另一点C,若时,则直线AC经过定点,且该定点为直线OP与P点所对应极线的交点.

结论6抛物线方程为y2=2px,点P(λ,μ)不在抛物线上,过点P的直线交抛物线于A,B两点,过点B作斜率为k的直线交抛物线于另一点C,当时,则直线AC经过定点,且该定点为为直线y=μ与P点所对应极线的交点.

依上述结论,文初所给例题可解答如下: 直线lOQ:y=0,点Q所对应的极线方程为x=3,则直线直线AD过定点(3,0).

四、举网以纲,万紫千红总是春

根据以上结论以及命题背景,参照历年的高考题,可以命制如下模拟题.

在平面直角坐标系xoy中, 已知点点M的轨迹为C.

(1)求C的方程.(答案:

(2)(命题角度1: 求取直线所过定点)经过点P(-4,2)的直线交曲线C于A,B两点, 过点B作斜率为1 的直线交曲线C于另一点D, 证明: 直线AD经过定点.(答案:

(2)(命题角度2: 将定点转化成定值)经过点P(1,1)的直线交曲线C于A,B两点, 过点B作斜率为的直线交曲线C于另一点D, 过点P作直线AD的垂线, 垂足为M,证明: 存在定点N,使得|MN|为定值.(答案:),

(2)(命题角度3: 探求直线斜率关系)经过点P(-3,0)的直线交曲线C于A,B两点,Q(-2,0),直线AQ交曲线C于点D(异于点A),证明∠BPQ=∠DPQ.