运用信息技术突破初中数学函数教学的难点——以二次函数动点问题为例

广东省佛山市顺德区沙滘初级中学(528315)李逸城

《义务教育数学课程标准》实施建议中明确提出:“信息技术可以丰富为学生展示各种资料的方法,比如声音、文字以及图像等,而且在选择和具体呈现方面更加灵活;而且可以通过各种情境来组织教学活动,使学生能够更好的感受沉浸式教学;也保证是学生在进行数学探究的过程中有了更多可用工具;即使双方的距离再远,也可以面对面的交流.该技术使数学学习的方式得以从根本上改变,所以在数学教学中一定要充分发挥信息技术的作用.

在数学教学过程中,将数学与信息技术相结合已经作为一种常用的整合方式,使学生更深入地理解数学,掌握数学.因此信息技术和数学教学的充分融合,也充分体现出了其价值.比如初中数学教学过程中的几何画板,就是经济技术运用的成功案例.几何画板具有动态效果呈现的功能,极大的方便了教师做数学中设计动态的研究.

在近年的广东省中考中,无论是几何还是代数,都可能会以函数作为知识背景,在解决问题时得到充分展现.而二次函数作为中考的必考知识点,也是难点,通常以动点类压轴题类型出现,可见它占据着非常重要的地位.因此,在教学中,若能将信息技术与二次函数相关内容融合,能使抽象的函数知识变得更生动形象易懂,学生不再畏难排斥,同时也充分调动学生积极性,求知欲.以下,笔者将以二次函数的动点问题与信息技术的深度融合应用展开分析.

1 二次函数综合题中由动点产生的线段问题

例1如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y=x-2 经过A,C两点,抛物线的顶点为D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)设点P为位于直线AC上方抛物线上一动点且与点A、C不重合,过点P作y轴的平行线交直线AC于点H,当PH值最大时,求点P的坐标;

(3)在y轴上是否存在一点G,使得GD+GB的值最小? 若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

分析若学生在初次接触此类题目时,会被第2、3 小问难倒,可能会无从下手.很多同学在第一次做类似第2 问时,会连蒙带猜,用自己的感觉认为点P在顶点时,PH的值最大来求解.

对于第(2)问,用几何画板来验证部分学生感观意识给自己的错觉.将PH由左到右依次拉动,让学生感受它的变化(如图1,2,3,4).

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

接下来就是求点G的坐标了,只要把直线B′D的解析式求出,把x=0 代入则可得出结果.

通过动态展示,学生更透彻地理解“将军饮马”问题,举一反三,有时问题为求某个三角形周长最小,多数情况也是转化为以上问题,在讲解时,让学生总结规律,则可以在二次函数中轻松解决类似问题.

针对以上二次函数动点问题,教师适当运用信息技术来辅助教学,特别是刚开始接触此类题型时,注意“化静为动”的方法,教师可以把一些抽象的问题转化为形象生动具体的动态过程,在这个过程中,学生能够深入的感知知识,同时总结学习方法,给后续的数学学习奠定基础.

2 二次函数综合题中由动点产生的面积问题

例2如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上有没有P点存在,从而保证ΔPAC周长最小,假如存在,计算出点P的的实际坐标和ΔPAC最小周长值;假如不存在,说明原因;

(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合),使得SΔPAM=SΔPAC? 若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

分析第(2)小问与前面例1 中的“将军饮马”问题是同一类型,通过做对称点,结合两点间线段最短即可解决(如图8),在此不作展开.

图8

第(3)小问涉及动点中的面积,由(2)得出点P的位置,ΔPAC是定点三角形,点M为动点,通过几何画板演示点M的运动,找出SΔPAM=SΔPAC,再结合所学知识总结方法.

借助信息技术,以及学生观察交流,总结方法.由于两三角形等面积,当两三角形以PA为底时,高相等,即点C和点M到直线PA距离相等.

情形1: 若点M在点P上方,则有CM//PA.如图9,求出直线AP解析式:y=x+1; 可得直线CM解析式为:y=x+ 3; 联立直线CM和二次函数的方程组即可求出点M的坐标.

图9

情形2: 若点M在点P下方,如图10,则点M所在的直线l//PA,且直线l到PA的距离等于直线y=x+3 到PA的距离.直线AP:y=x+1 向下平移2 个单位得y=x-1即为直线l的解析式,同理,联立直线l和二次函数的方程组即可求出点M的坐标.(注意: 点M在x轴上方,不符合条件的点需要舍去)

图10

通过信息技术手段的辅助,观察动态变化过程,总结一般的解题方法,这是“化动为静”的技巧.第(3)小题需要进行分类讨论,而两种情形所用方法原理也是一样的.在今年广东省中考综合题中“分类讨论”是常考的数学思想方法,在教学中,我们应当特别关注,避免遗漏.

3 二次函数综合题中由动点产生的相似问题

例3如图,在直角坐标系中,直线y=-x+3 与x轴,y轴分别交于点B,点C,对称轴为x=1 的抛物线过B,C两点,且交x轴于另一点A,连接AC.

(1)直接写出点A,点B,点C的坐标和抛物线的解析式;

(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点,当点P到直线BC的距离最大时,求点P坐标;

抛物线上是否存在一点Q(点C除外),使以点Q,A,B为顶点的三角形与ΔABC相似? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

分析第(2)题求点P到直线BC的距离最大,教师可借助几何画板画出PH⊥BC,拉动PH运动,让学生观察——猜测——验证.(如图11 为拉动过程)

图11

通过动态呈现对比发现,第(2)小题中先“化斜为直”,结合相似或三角函数,把所求的斜的PH转化至直的PQ,再用例1 中的线段问题解决方法即可攻破.可见,两道题目虽有不同,却又有着千丝万缕的联系,别有一番滋味.

第(3)小题在之前的学习基础上,结合信息技术,在呈现动点Q的运动过程中,QA、QB以及相应的角都会发生变化,要使以点Q,A,B为顶点的三角形与ΔABC相似,学生可得出此类题目一定不止一种情形,要进行分类讨论.

情形1: 当点Q在x轴上方时,此时点Q与点C关于函数对称轴对称,即点Q,A,B为顶点的三角形与ΔABC全等,则点Q(2,3).(如图12)

图12

情形2: 当点Q在x轴下方时,当对应角不同时,就会出现不同的相似情况.

(Ⅰ)当∠BAQ=∠CAB时,,ΔQAB∽ΔBAC,如图13.

图13

由勾股定理得:AC=5,过点Q作QD⊥x轴于点D,由ΔQDA∽ΔACO得对应边成比例,OC=3,∴QH=12,则AH=16,OH=16-4=12,∴Q(12,-12);

启发学生,根据点的对称性,当点Q在第三象限时,点Q(-10,-12); 故此情况下点Q的坐标为:(12,-12)或(-10,-12);(如图14)

图14

(Ⅱ)当∠BAQ=∠CBA时,则直线AQ//BC,通过拉动点Q的运动过程,以及结合计算可以得出此情况不存在,因此舍去.

对于二次函数中由动点产生的相似问题,通常要应用分类讨论的数学思想,结合动态的数学思维,运用正确方法来解决相关问题.教师可以通过信息技术来对知识进行动态化讲解,“动静结合”,动为轨迹、图形,静则为方法.

将信息技术和数学课堂有效融合,为学生提供数学学习的方法及解决问题的工具,探索出更多学习与教学方法.本文中涉及的二次函数综合题中的动点问题往往是中考中的压轴题,所占分值高,难度大,比较抽象,学生对这类题题意的理解往往很困难,由此形成了教学的难点.信息技术手段的应用为学生的学习提供了更广大的平台,帮助学生将抽象的问题形象化,使学生在各种数学活动中投入更多的精力,有助于学生分析问题,解决问题,逐步学会将知识形成方法,方法形成规律,从而解决教学中的难点.