一类条件不等式证明的一种代换方法

山东省邹平双语学校(256200) 姜坤崇

下面举出数例说明方法的具体运用.

例1(文献[1]第72 页例8)已知a,b,c ∈R+,且满足求证:

原文给出的证明较繁,下面我们利用本文介绍的代换法给出一种简证.

证明令(x,y,z ＞0), 则于是

说明(1)通过本文介绍的换元法,将一类条件不等式等价转化为非约束条件不等式来证明,从而达到了将问题简单化的目的,如例1 的实质即证明无约束条件的简单不等式(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz(x,y,z ＞0).

(2)可对例1 作如下推广: 设xi ∈R+(i= 1,2,··· ,n,n≥2)且则有

例2设xi(i= 1,2,3,4)∈R+,且证明:x1x2x3x4≥81.

证明设其中ai ＞0(i=1,2,3,4), 则由三元均值不等式得同理,四式相乘得

故所证不等式成立.

说明可对例2 中的不等式作如下推广: 设xi ∈R+(i=1,2,··· ,n,n≥2)且, 则有x1x2···xn≥(n-1)n.

例3(自编题)设α,β,γ为锐角, 且cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证:

证明由条件式cos2α+cos2β+cos2γ=1 可设cos2α=0), 则所证不等式可化为

由二元均值不等式得

所以不等式①成立,从而原不等式得证.

说明用同样的方法可以证明如下问题(《数学通报》数学问题1270): 设α、β、γ为锐角,cos2α+cos2β+cos2γ=1.试证:

例4(2005年伊朗数学奥林匹克试题, 2007年美国国家集训队测试题)设x,y,z ∈R+, 且证明:

证明令则x=于是

由二元均值不等式得

即②式成立,从而所证不等式得证.

例5(自编题)设x,y,z ＞0,且xy+yz+zx+2xyz=1,求证:

证法1xy+yz+zx+ 2xyz= 1⇔则x=于是

由于以上最后一个不等式显然成立,故原不等式成立.

证法2代换方法同证法1, 由条件式xy+yz+zx+ 2xyz= 1 即证以下证明从略.

例6(2005年摩洛哥数学奥林匹克竞赛题)设x,y,z ∈R+,且xy+yz+zx+2xyz=1,证明:

证明

由二元均值不等式得

例7(《数学通报》数学问题1830)a,b,c ∈R+, 且a+b+c= 2, 求证:

问题提供人给出的证明很繁,利用本文给出的代换方法可以给出其如下简证.

证明设(x,y,z ＞0),则所证不等式可化为

以上最后一个不等式即为著名的舒尔不等式,所以原不等式得证.

例8(自编题)设x,y,z ＞0,且xy+yz+zx+2xyz=1,求证:

先证

所以有③式成立,原不等式得证.

说明不等式③即2002年美国数学MOP 夏令营试题:设a,b,c是正数,证明:

例9(自编题)设x,y,z ＞0,且xy+yz+zx+2xyz=1,求证: (x+y)(y+z)(z+x)≥1.

证明

所以由二元均值不等式得

例10(自编题)设x,y,z ＞0,且xy+yz+zx+2xyz=1,求证:

证明xy+yz+zx+2xyz= 1⇔

所以

又由三元均值不等式得

所以由⑥、⑦式即得⑤式成立,从而原不等式得证.