例析解析法在解三角形问题中的应用

广东省佛山市顺德区罗定邦中学(528300) 龙宇

广东省佛山市顺德区教师发展中心(528300) 王常斌

解三角形的常用方法是利用正、余弦定理或相关的几何性质,建立起三角形边或角的方程,再通过解方程实现解三角形.在经过解析几何的学习后,我们可以通过解析的思想来实现解三角形.利用解析法解三角形的主要思路如下: 先考虑题干所提供的部分条件,获得三角形某些点的“轨迹”,再结合剩余的条件确定三角形,实现解三角形.

常见的“轨迹”包括: 直线型,圆型以及一般的圆锥曲线.本文分别以几个经典案例来展示构造上述“轨迹”来解三角形.

一、构造直线

例1(华南师大附中2022 届高三月考(三)第15 题)已知在锐角ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosC=ccosB,则的最小值为____.

分析由2bcosC=ccosB, 结合正弦定理即可得:即可知tanC与tanB存在一个线性关系,结合三角形内角和定理可得到tanA与tanB之间的关系,最终将问题转化为关于tanB这一个变量的问题.常规解法即是利用三角恒等变换以及基本不等式求解,本文尝试利用解析的思想求解.

解析如图1,设点B,C的坐标分别为(-a,0),(a,0),设点A的坐标为(x,y)(y ＞0).其中tanB=kAB=tanC=-kAC=由题设 tanC=2 tanB可得: 点A的轨迹为:以点原点O为圆心,a为半径作圆,与直线的在第一象限的交点为因为ΔABC为锐角三角形,即可得点A的轨迹为:

图1

接下来利用参数a及点A的纵坐标y为参数表示角A,B,C的正切值.其中

则有:

则可得:

例2(2019-2020 学年顺德区高一期末考试第20 题)已知ΔABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2.

(2)若b2-c2=8,当A取得最大值时,求ΔABC的面积.

如图2-1, 以点B,C所在直线为x轴,BC线段的中点O为原点建立直角坐标系.可得点B,C的坐标分别为:(-1,0),(1,0).设点A的坐标为(x,y).

图2-1

根据题干条件b2-c2= 8, 化简可得点A的轨迹为:x=-2(y≠0).也可利用上面的投影关系化简求解轨迹.

原问题转换为在直线x=-2 上找一个点A使得该点对BC的张角达到最大值,并求得此时对应的ΔABC的面积.

该问题便是非常经典的米勒问题: 根据文[1]中的结论可知,如图2-2,当点A为对应的米勒圆与直线x=-2 的切点时,点A对BC的张角(即角A)达到最大值.结合平面几何的知识可知此时ΔABC的面积为

图2-2

二、构造圆

(一)阿波罗尼斯圆

在平面上一点P到两个定点的距离之比满足(λ ＞0 且λ≠ 1),则点P的轨迹是圆,这个圆便是经典的阿波罗尼斯圆.

例3(2008年高考江苏卷第13 题)满足条件AB= 2,的ΔABC的面积的最大值是____.

解析如图3, 以AB的中点O为原点进行建系, 则点A,B的坐标为(-1,0), (1,0), 设点C的坐标为(x,y)代入条件化简可得点C的轨迹方程为:(x-3)2+y2=8,即圆心为E(3,0),的圆.

图3

ΔABC的面积的最大值问题则转化为点C到x轴距离的最大值问题.根据平面几何的相关知识可知,点C到x轴距离对应的ΔABC的面积的最大值为

(二)利用中线公式构造圆

例4(顺德区2022 届一模11 题)在ΔABC中,A,B,C所对的边为a,b,c,设BC边上的中点为M,ΔABC的面积为S,其中下列选项正确的是( )

C.AM=3 D.角A的最小值为

解析如图4,以BC的中点M为原点,BC方向为x轴, 过点M作BC的垂线为y轴, 建立平面直角坐标系.则有点B,C的坐标为设点A为(x,y),根据条件b2+c2=24,化简可得点A的轨迹方程为:x2+y2= 9 (x≠±3).即可得点A的轨迹为一个圆(去掉两点), 因为点M为该圆的圆心, 当点A在圆上运动时,AM= 3 为定值;当AM⊥BC时,面积S取到最大值此时角A取到最大值由此即可判断出各个选项的正误.

图4

(三)其他条件构造的圆

例5记ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin ∠ABC=asinC.

2.2 PTEN抑制子宫内膜癌细胞LDH的活性 收集3组细胞沉淀物，进行LDH的活性测定。结果表明，过表达PTEN后，LDH活性明显降低。见图2。

(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.

分析对于第(1)问, 利用正弦定理即可证明, 简述如下: 由BDsin ∠ABC=asinC,可得BD·b=a·c,再结合b2=ac, 即可得BD=b.本文主要通过解析法解决第(2)问.

解析由第(1)问可知BD=b为定值, 由此可考虑构造点B的轨迹进行求解.如图5, 以点D为原点,CA为x轴, 过点D作CA的垂线为y轴建立平面直角坐标系.设点A的坐标为(2,0),C的坐标为(-1,0), 可得b= 3, 由BD=b= 3, 可得点B的轨迹为x2+y2= 9,为此可设点B的坐标为(3 cosθ,3 sinθ).则有BA2=c2=13-12 cosθ,BC2=a2=10+6 cosθ,再结合b2=ac,联立三式化简可得:72cos2θ+42 cosθ-49=0,可得从而可得:

图5

三、构造其他的圆锥曲线

(一)构造椭圆

例6(2016年高考山东卷第16 题)在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知2(tanA+ tanB)=

(I)证明:a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值.

分析在ΔABC中,若固定c的长度,由可知,顶点C的轨迹是去掉两个端点的椭圆.ΔABC是这个椭圆的焦点三角形.

解析设AB的中点为O,AB为x轴, 过点O作AB的垂线为y轴.为了简化计算,不妨设c=2,则有A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),由a+c=4 可知,点B的轨迹为以点A,B为焦点的椭圆(去掉两边的端点).易得对应的椭圆方程为

(二)构造双曲线

例7在ΔABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=4,sinA+2 sinB=2 sinC,求的最小值.

分析受上文构造椭圆的提示,当出现两边之差为定值时,我们还可以构造出双曲线进行求解.结合双曲线的轨迹方程即可实现对目标式的化简.

解析根据条件及正弦定理可得:a+2b= 2c, 整理可得:由此以BC的中点为原点建立直角坐标系, 点B,C的坐标为(-2,0), (2,0), 点A的轨迹为双曲线的一支.根据以上信息易得点A的轨迹方程为:根据对称性,本文仅考虑上半部分.

设点A的坐标为(x,y), 利用焦半径公式可得:AB= 2x+1,AC= 2x-1.结合三角函数的定义可得:所求式

(三)构造抛物线

例8在锐角ΔABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,点D为线段BC的中点,设∠ADC为θ,且有AD(1-cosθ)=a,求ΔABC面积的取值范围.

解析如图6-1,以点B为原点,BC为x轴,过点B作BC的垂线为y轴建立平面直角坐标系,则可得点B,C的坐标为(0,0),(2,0),点D的坐标为(1,0),设点_A的坐标为(x,y).则可得结合题意可得:化简整理可得点A的轨迹为y2= 4x(x≠ 0),其中点D恰好为该抛物线的焦点.

图6-1

如图6-2, 以点D为圆心,DB为半径作圆与抛物线交于点M(经过验证可得点M与点B重合),过点C作BC的垂线与抛物线交于点N.为满足三角形ΔABC为锐角三角形,点A只能在点M到点N这一段曲线上运动.从而可得ΔABC面积的取值范围是

图6-2