关于圆锥曲线的一类夹角最值问题探究

广东省广州外国语学校(511455) 叶土生

广东省东莞市塘厦中学(523710) 王超群

圆锥曲线具有很多优美的性质.通过研究圆锥曲线性质可以让学生体会到数学之美,提升学生直观想象、数学运算、逻辑推理等学科核心素养.更重要的是可以提升学生的探究品质,养成良好的数学学习习惯,树立善于思考、严谨求实的科学精神.

设A,B是圆锥曲线焦点弦的两个端点,下面通过研究∠AOB的最值问题,展示如何引导学生进行数学相关问题研究.

一、问题的提出

问题1过抛物线y2= 2px的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,O是坐标原点,试探究∠AOB在直线l什么位置取到最值.

分析首先研究∠AOB的大小,很难转化为几何意义, 比较适合代数法研究.另外, 研究∠AOB的大小可以先转化为研究其对应的三角函数值范围.这需要判定正弦值、余弦值、还是正切值更为合适? 设∠AOF=α, ∠BOF=β, 直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,设以x轴非负半轴为始边,显然α是正角,β是负角,且tanα=k1,tanβ=k2,∠AOB=α-β,所以求tan ∠AOB更合适.

解设∠AOF=α,∠BOF=β,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2.所以tanα=k1,tanβ=k2,∠AOB=α-β.设直线l的方程为(不妨设m ＞0), 且A(x1,y1),B(x2,y2),y1＞0＞y2,所以有

联立直线与抛物线方程得y2-2mpy-p2=0,所以有

所以

结论1设抛物线C:y2=2px,直线与抛物线C交于两不同点A,B,O为坐标原点.则∠AOB的大小只与直线l的斜率m相关,而与抛物线参数p无关,且当m= 0 时, ∠AOB取得最大.

根据以上推导得到抛物线中∠AOB的相关性质,那在椭圆、双曲线中是否有类似的性质呢? 以下可以利用同样的方法探究在椭圆、双曲线中的相关性质.

问题2过椭圆的焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点, 试探究∠AOB在直线l什么位置取到最值.

分析解答类似抛物线探究过程,设不妨设F是椭圆右焦点,所以设l的方程为x=my+c(不妨设m ＞0),可以得到

结论2设椭圆焦半径为离心率为e,直线l:x=my+c交椭圆于A,B两点,O是坐标原点.

总之,当直线l垂直x轴,∠AOB取到最小值.

经过问题1、问题2 的分析解答,自然会想到对于双曲线是否也有类似的性质? 笔者进一步分析探究,发现双曲线的性质更加复杂.

问题3过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线右支A,B两点,O是坐标原点,试探究∠AOB在直线l什么位置取到最值.

分析解答类似问题1、问题2 的探究,设l的方程为x=my+c(不妨设m ＞0),可以得到

(1)当a≤b或时,f(t)在上单调递减;

结论3设双曲线焦半径为离心率为e,直线l:x=my+c交双曲线于A,B两点,O是坐标原点.

方法点评对于问题2 和问题3,在求解③④过程中,要注意“设而不求”思想的应用,以减小代数运算量.具体运算过程如下:

设A(x1,y1),B(x2,y2),且y1＞0＞y2,联立直线与曲线方程得到关于y的一元二次方程,可先设Py2+Qy+R=0,所以有

然后再代入P,Q,R的具体表达式,将会很大程度地降低代数式化简难度.

教师作为高考备考的重要参与者,有了以上的研究,就可以编制一些试题训练考查学生,培养学生的思辨能力,以下举几个简单例子以供参考.

二、试题展示

例1设抛物线y2= 2px,焦点F,O是坐标原点,若直线l过F且与抛物线交于A,B两点,若∠AOB= 120°,则直线斜率k=____.

点评根据问题1 研究,易求得学生容易将问题转化为研究向量的夹角从而利用夹角公式导致计算复杂难以化简.如果发现直线OA,OB斜率与∠AOB的关系,则容易想到转化为求tan ∠AOB更加合理.在高考备考中,要特别培养学生分析、转化、辨析能力.

例2设椭圆O是坐标原点, 直线l:y=k(x -1)交椭圆于A,B两点, 若0＜k≤1, 则tan ∠AOB的取值范围是____.

点评根据问题2 研究, 易求得tan ∠AOB的取值范围是[-4,0).本例若直接联立方程求解, 计算量大, 且小题大做耗费很多时间, 解题策略不恰当.若学生在平时经过适当训练, 很容易想到利用端点效应, 求出当k= 1 时tan ∠AOB=-4,k=0 时tan ∠AOB=0,且随着k的增大,∠AOB逐渐减小,所以tan ∠AOB ∈[-4,0).另外,学生也很容易生搬硬套夹角公式从而导致大量计算.在高考备考过程中,一些常见的解题策略需要利用一些例子进行恰当训练,提升解题速度.

例3设双曲线F是右焦点,O是坐标原点,若直线l过F且交双曲线右支于A,B两点,当∠AOB的最大值为90°,求双曲线的离心率e=____.

点评根据问题3 研究,当直线l垂直x轴时,∠AOB取最大值,根据图像有因为化简得e2-e-1=0,解得

变式1设双曲线F是右焦点,O是坐标原点, 若直线l过F且交双曲线右支于A,B两点, 当∠AOB取得最大时直线l的方程____.

变式2设双曲线,F是右焦点,O是坐标原点,若直线l过F且交双曲线右支于A,B两点,当∠AOB的最大值为45°,求双曲线的离心率e=____.

点评本例需先研究∠AOB的三角函数值,根据问题3研究,选择求解tan ∠AOB,再进一步论证.变式1,2 都和直线位置有关,所以可假设直线l的方程为x=my+c(c是焦半径).

对于变式1,根据④式,取a2= 2,b2= 1,代入得当且仅当,即时等号成立.

变式2 是变式1 的同一问题,不同问法,但因为a2与1的大小关系不确定,需要进行分类讨论.

(1)当0＜a2≤1 时,f(t)在[1,+∞)单调递减, 所以因为∠AOB的最大值为45°, 所以即a4+a2= 2ac+ 1, 又因为c ＞a,a2≤1, 所以a4+a2＜2a2＜2ac, 所以方程a4+a2=2ac+1 无解.

(2)当a2＞1, 因为所以,因为∠AOB的最大值为45°,所以解得a2= 2,此时所以双曲线离心率

点评变式1,2 学生容易想当然地认为当直线l垂直x轴时∠AOB取得最大,不加以论证从而导致错误.

三、结束语

如何让学生通过高中课程的学习获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”)是作为一名数学教育工作者需要深入思考的教学问题.通过对一个问题的深入探究,可以很好地提高学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”).通过与学生一起对一个问题的深入探究,不仅能巩固“四基”,提高“四能”,还能让学生进一步发展学科核心素养,提升创新能力.所以在高考备考过程中,无论教师和学生都可以围绕一个问题从知识方法的深度、宽度、高度上进行深层次的思考与探究,其中深度是指对问题本身要深入思考,读懂题目所考查的目的、能力、技巧等,不应仅仅停留在就题论题层面上;宽度是指对于一个问题它与哪些知识相关,即问题的综合性,对于其它知识应该如何衔接则需教师利用合适例子给予解析;高度是指对一个问题如何突破所涉及的技巧,如何渗透所体现的数学思想,如何逐步形成和发展所蕴含的学科核心素养.