探究“一边及其对角大小确定”的三角形的运动规律*

新疆维吾尔自治区新疆师范大学数学科学学院(830017) 张 琼 杨 军

1.问题提出

如果一组三角形满足“一边及其对角大小”对应相等,显然这样的三角形不一定全等.那么这样的三角形的运动变化有什么规律可循呢?

图1

图2

把满足“一边及其对角大小”对应相等的所有三角形,按相等的边重合在一起(图1), 根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”的逆命题,可以发现这些三角形第三个顶点的运动轨迹是一段圆弧(图2).这也就揭示了三角形中的正弦定理中外接圆及其比值2R 的由来.

进一步,如果把满足“一边及其对角大小”对应相等的所有三角形,按相等的角重合在一起,其相等角的对边的运动变化又有什么规律可循呢? 也即一部“滑落的梯子”具有什么样的运动规律呢? 本文拟探究这个问题.

2.“滑落的梯子”上任一点的运动轨迹

设“一边及其对角大小”对应相等的三角形△OAB,△OCD,△OKL,△OMN,......的“等边”的长度为d(下同),“等角”大小为α(下同).把这些三角形按相等的角α 重合在一起(图3).这些三角形其相等边上的点的运动变化具有什么规律呢? 这个问题等价于在角α 的两边上各有一个动点M、N,线段MN 的长度为定值d,则MN 上任一点(除去端点,下同)的运动轨迹具有什么规律?

图3

图4

以点O 为原点, OM 所在直线为x 轴, 建立如图4的平面直角坐标系, MN 上任一点P 满足(0<λ<1).下面求点P(x,y)的轨迹方程.

注意到运动的等边MN 的位置可由∠NMO 唯一确定, 故引入参数∠NMO=t.在△OMN 中, 由正弦定理可知从而,点M(d cot α sin t+d cos t,0),N(d cot α sin t,d sin t).由求得点P的坐标为消去参数t, 得到点P 的轨迹方程为

从而表明此时点P 的轨迹是以原点O 为中心,以坐标轴为对称轴的一段椭圆弧(如图5,这也是椭圆规的数学原理).特别地,当即点P 为MN 中点时,其轨迹为一段圆弧.

已知二次曲线方程的一般形式是2Dx+2Ey+F =0,记I1=A+C,I2=则当I2> 0 且I1I3< 0 时,该曲线表示椭圆;当I2< 0 且I30 时,该曲线表示双曲线;当I2=0且I30 时,该曲线表示抛物线.由方程 ①得

即I2>0 且I1I3<0,故方程 ①表示的是一段椭圆弧,从而表明点P 的轨迹是以O 为中心的一段椭圆弧,如图6.

综上可知,如果把满足“一边及其对角大小”对应相等的所有三角形,按相等的角重合在一起,其相等角的对边(梯子)上任一点的轨迹是以原点O 为中心的一段椭圆弧或圆弧.

图5

图6

3.“滑落的梯子”运动区域的边界曲线

把满足“一边及其对角大小”对应相等的所有三角形,按相等的角重合在一起,这些不全等三角形的“相等边”扫过区域的边界曲线(图9、图12、图13)的方程是什么呢? 也就是“滑落的梯子”运动区域的边界曲线的方程是什么呢?

3.1 相等角α 是直角

3.1.1 求边界曲线的基本思路—最远点与最大值

按照上述思路, 要求最远点B(X,Y), 等价于求当横坐标x =X 时,这些三角形的“相等边”在运动过程中(即∠OMN=t 变化),“相等边”与直线x=X 交点纵坐标的最大值,也即边界曲线上点B的纵坐标Y.从而,求得边界曲线上点B 的坐标.进一步,将t 视为参数,即得到边界曲线的参数方程.

3.1.2 求边界曲线的参数方程

如图8, 设OA=X, 且直线x=X 与运动的“相等边”MN 的交点为B′(X,y), 根据MN=d, 易知OM =d cos t,ON =d sin t,从而由△MAB′△MON 得解得AB′=d sin t−X tan t.

图7

下面只需求当∠OMN =t 变化时,线段AB′的最大值即可.

令f(t)=d sin t−X tan t, 则f(t) 的 导 数f′(t) =d cos t−X sec2t, 进一步令f′(t)=0 解得X=d cos3t.结合函数f(t)的单调性可知fmax(t)=d sin3t,此时t 满足X=d cos3t.从而, 最远点也即边界曲线上的点B 的坐标(X,Y)为

将 ②式中的t 视为参数,从而 ②式即表示边界曲线的参数方程,其形状如图9 所示.

图8

图9

3.2 相等角α 不是直角

3.2.1 求边界曲线的基本思路—最远点与最大值

如图10, 当“一边及其对角大小”对应相等的三角形其“等角”α不为直角时,作直线l 与ON 平行,且直线l 与x 正半轴的交点为A.如果直线l 与边界曲线的交点为B(X,Y), 则点B(X,Y) 理应是直线l 上距离点A 最远的点.若直线l 上还存在点B′(X,y)在点B(X,Y)的上方, 那么点B(X,Y)就不可能是边界曲线上的点.

设直线l 与运动的“相等边”MN 的交点为B′.按照上述思路, 要求直线l 上距离点A 最远的点B(X,Y), 只需求直线l 位置相对固定时,“相等边”在运动过程中(即∠OMN=t 变化),线段AB′的最大值即可.进而即求得边界曲线上点B 的坐标.将t 视为参数,即得到边界曲线的参数方程.

图10

3.2.2 求边界曲线的参数方程

如图11, 设直线l 与x 正半轴的交点A 为(s,0), 与运动的“相等边”MN 的交点为B′.在△OMN 中, 利用正弦定理得从而由得即令f(t)=AB′=则进一 步 令f′(t)=0, 解 得由f(t)的单调性知此 时t 满 足从而边界曲线上的点B(X,Y)为

图11

图12

图13

将 ③式中的t 视为变量,从而 ③式即表示边界曲线的参数方程.易知,当α 为锐角时, ③式中的参数当α 为钝角时, ③式中的参数t ∈(0,π−α).边界曲线的形状分别如图12、图13 所示.特别地,当α 为直角时, ③式即为 ②式.

4.结束语

本文从两个维度探究了“一边及其对角大小确定”的三角形的运动规律,最后得到“滑落的梯子”上任一点的运动轨迹方程,以及“梯子”在“滑落”过程中形成的边界曲线的参数方程.通过这样的探究之旅,教师进一步理解了探究式教学的价值,学生进一步收获了发现的成功与喜悦.