一个定点定直线问题的变式推广

江苏省启东市汇龙中学(226200) 施华

一个定点定直线问题的变式推广

江苏省启东市汇龙中学(226200) 施华

(1)求椭圆的方程;

(2)求证:直线l2恒过一定点.

图1

(2)证明:由题意可得D(−2,−1),E(2,1),不妨设直线l1的方程为y+1=k(x+2).联立

证明由题意可得D(−2,−1),E(2,1),不妨设直线l1的方程为y+1=k(x+2).联立点D(x0,y0)是椭圆C上的一点,点E是D点关于原点的对称点,P是椭圆C上(除D、E)的另一个点,直线DP与直线x=t的交点为Q,过Q点作直线EP的垂线l,求证:直线l恒过一定点.

变式2的证明仿上述变式1,这里从略.

把特殊的椭圆推广到一般的椭圆.

推广1 已知椭圆C:

由于椭圆和双曲线都是有心圆锥曲线,所以结论可推广到双曲线.

由推广1,2得:

推广3 已知曲线C:mx2+ny2=1(mn≠0),点D(x0,y0)是曲线C上的一点,点E是D点关于原点的对称点,P是曲线C上(除D、E)的另一个点,直线DP与直线x=t的交点为Q,过Q点作直线EP的垂线l,求证:直线l恒过一定点

事实上,这里的关键是D,E是关于原点对称的一对定点,kPD·kPE是非零常数.

推广4 如图2,在直角坐标系xOy中,点D(x0,y0)是平面上除原点的一点,点E是D点关于原点的对称点,P是平面上(除D、E)的另一个点,且满足kPD·kPE=λ(λ≠0),直线DP与直线l1:x=t的交点为Q,过Q点作直线EP的垂线l,求证:直线l恒过一定点.

图2

证明:如图2,过D作DM⊥l1于M,交PE于N,设∠QDM=α,∠PNM=β,则kPD=tanα,kPE=tanβ.设直线l交DM于R(x,y),则 ∠QRM=β −90°,在Rt△QRM中,

所以t−x=−λ(t−x0),所以x=t+λ(t−x0)=(1+λ)t− λx0.所以R((1+λ)t− λx0,y0)是定点.所以直线l恒过一定点.