GeoGebra探究过任意点作三次函数切线条数问题

北京化工大学附属中学(100029) 韩毅 张华

GeoGebra探究过任意点作三次函数切线条数问题

北京化工大学附属中学(100029) 韩毅 张华

利用数学软件GeoGebra,对2014年北京卷文科20题进行探究,解决了过任意点作三次函数切线条数问题.

三次函数 切线 geogebra

在研究高考题时,遇到了过具体的点作三次函数切线的条数问题,于是想探究这个点的位置与过它作三次函数切线条数有什么关系这一问题.笔者通过GeoGebra作动态图,拖动平面上的点,观察过它作三次函数切线的条数,提出猜想,再通过计算证明猜想.在研究过程中遇到了两个困难,其一是出现一个不能理解的多项式,其二是GeoGebra作动态图过程中,过任意点与三次函数相切的切点难以确定.作者通过查阅相关GeoGebra书籍中得到启示,最终突破了难点,制作出了过平面内任意一点,作三次函数切线的动态图.通过探究,最终作者解决了过任意一点作三次函数切线的条数问题.

一、问题的提出

在高考当中经常会遇到三次函数的问题,其中笔者在做2014年北京卷文科最后的20题时,引起了我的思考,现呈现如下.

问题(2014年北京卷文科第20题)已知函数f(x)=2x3−3x.

(1)求f(x)在区间[−2,1]上的最大值;

(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;

(3)问过点A(−1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论.)

本题的第二问为在x=1的直线上存在一个动点P(1,t)可以做出f(x)的切线三条,进而求t的取值范围.第三问给了平面上三个不同的点A、B、C,问过A、B、C分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?这道题目解答完后引起了笔者的好奇.作者思考平面上在什么位置的点,过这个点能做出y=f(x)一条切线,在什么位置的点,过它能做两条切线,什么位置能做三条切线,过这个点一定能做出y=f(x)的切线么?这里y=f(x)=2x3−3x是确定的三次函数,那么对于更一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),过平面上任意点作此三次函数切线条数问题,有没有一般化的结论呢?这个问题引起了笔者深深地思考,于是笔者拿起笔和纸准备研究一下这个问题.

二、探究过程结构与探究思维导图

(一)探究过程结构

图1

(二)探究思维导图

图2

三、GeoGebra介绍[1]

GeoGebra是一个结合几何、代数与微积分的动态数学软件,它是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的.一方面来说,GeoGebra是一个动态的几何软件.您可以在上面画点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线,甚至是函数,事后你还可以改变它们的属性.另一方面来说,您也可以直接输入方程和点坐标.所以,GeoGebra也有处理变数的能力(这些变数可以是一个数字、角度、向量或点坐标),它也可以对函数作微分与积分,找出方程的根或计算函数的极大极小值.所以GeoGebra同时具有处理代数与几何的功能,因此GeoGebra视窗左边有一个「代数区」,右边有一个「几何区」(也称为「绘图区」).

软件特色:①可免费用于学习、教学和考评.②功能强大、使用简单、交互性强.③支持多种语言.④以趣味的方式真正观察和体验数学和科学.⑤可适于各种课程或项目.

四、探究过程

(一)问题的转化与困境

设N(m,n)为平面内任意一点,过N作三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的切线,设切点为该切线的斜率就是x0处的导函数值即切线可以表示为

把N(m,n)坐标代入切线方程后,整理得:

有几个x0满足①,即此方程有几个关于x0的根,就有几条切线.切线的条数问题就转化为方程①根的个数问题.

构造新函数设

方程①根的个数问题可以转化为g(t)函数零点的个数问题.因为g′(t)=6at2+2(b−3am)t−2bm.所以 ∆ = [2(b−3am)]2−4×6a(−2bm)=(6am+2b)2≥0.

1)当6am+2b=0,即m=时,此时 ∆ =0,g′(t)≥0或g′(t)≤0,所以g(t)为单调函数,所以g(t)有唯一零点使得①式成立,即过N点作三次函数f(x)的切线有一条,此时点在图3所示的直线上.

图3

2)当6am+2b≠0,即时,此时 ∆＞0,令g′(t)=0得t1=m,t2=−因为

n为N(m,n)点的纵坐标,f(m)为N(m,n)点横坐标.m带入f(x)得到的函数值.

①当n−f(m)＞0,则N(m,n)点在三次函数f(x)图像的上方;

②当n−f(m)=0,则N(m,n)点在三次函数f(x)图像的上;

可以设此直线为p(x),则

这是怎样的一条直线呢?一时难以看出这是怎么样的一条直线.能不能通过GeoGebra先做出过任意点的三次函数的切线,然后通过移动这个任意点的位置,观察三次函数切线条数的变化,来猜想出p(x)是什么直线呢?于是,笔者尝试用GeoGebra作过任意点的三次函数的切线.

(二)GeoGebra 作图、观察、猜想

第一步:建立任意三次函数图象如图4所示.

图4

第二步:如图5,通过运算功能求方程

图5

第三步:把不同的x0代入三次函数f(x)求得f(x0)的值,得到不同的切点Q(x0,f(x0))的坐标.

第四步:根据N(m,n)、Q(x0,f(x0))两点确定过N(m,n)与f(x)相切的切线.

别纯真年代了。你能离开许振平？离开你的宝贝许康？你们的分手不就是因为彼此的愧疚吗？你应该知道，人都是自己内心的囚徒。不管走再远，不管沿途风景多么美丽，最终都会疲惫地回到原地。

图6

第五步:通过移动N(m,n)的位置,如图6所示,发现当切点C、D重合于三次函数的对称中心时,可以做出两条切线;当N(m,n)向左移动一些,如图7所示,便可以看出过N(m,n)点做出三条切线与f(x)相切;当N(m,n)向右移动一些,如图8所示,便可以看出过N(m,n)点做出一条切线与f(x)相切.于是,做出猜想:可能是切点在三次函数对称中心处的切线,即图6中的切线DN.

图7

图8

(三)猜想证明

图9

图10

n为N(m,n)点的纵坐标,p(m)为N(m,n)点横坐标m带入p(x)得到的函数值.

①当n−f(m)＞0,则N(m,n)点在三次函数p(x)图像的上方

②当n−f(m)=0,则N(m,n)点在三次函数p(x)图像的上

③当n−f(m)＜0,则N(m,n)点在三次函数p(x)图像的下方所以:

图11

满足上述条件的点N(m,n)的位置在如图12所示阴影部分时,即在点P的切线p(x)上方且在三次函数f(x)的上方,或者在点P的切线p(x)下方且在三次函数f(x)的下方时,过N(m,n)可以作三次函数f(x)的切线一条.

图12

图13

图14

图15

满足上述条件的点N(m,n)的位置在如图16所示阴影部分时,即在点P的切线p(x)上方且在三次函数f(x)的下方,或者在点P的切线p(x)下方且在三次函数f(x)的上方时,过N(m,n)可以作三次函数f(x)的切线三条.

图16

五反思与启示

此次研究,作者经历了问题的提出、猜想、操作验证、证明的过程.真正感受了问题从无到有,从未知到已知,从模糊到清晰的过程,感受到了探究过程的魅力与乐趣,如果可以让学生在课堂上感受真正的数学探究过程,从提出数学问题,尝试提出解决办法,实践操作等,数学在学生中的魅力会自然而然的沁入他们的内心,使学生更加喜爱数学,喜爱数学课堂.

此次猜想证明的过程中,通过计算机辅助教学软件GeoGebra作动态图突破了难点,通过这次探究过程,作者感受到了计算机辅助教学软件为数学教学提供操作猜想的作用.在教学当中,教师可以通过计算机辅助教学软件给学生直观动态展示证明或计算后的结果,也可以通过动态作图给学生的猜想证明以方向上的指引.它可以有效的帮助数学探究过程的展开,揭示探究过程中的难点与重点.计算机辅助教学软件也可以激发学生探究数学、学习数学的兴趣.因此,作为数学教师的我们应该积极的学习与掌握一款数学教学软件,比如几何画板,超级画板,GeoGebra等.

[1]百度百科http://baike.baidu.com