一题多思 把握本质—与《求解一道题明白一个理》作者商榷

浙江省桐乡市高级中学(314500) 马军妹

一题多思 把握本质—与《求解一道题明白一个理》作者商榷

浙江省桐乡市高级中学(314500) 马军妹

文[1]中王晔老师对平日测验的一道三角形面积的最大值问题展开分析,在学生出现困惑后,从“开始的茫然”到“特殊值法”,从“初有思路”到“留有遗憾”,最后终得正解,给出了几种不同的解法,笔者读了之后颇受启发:数学教学实践中教师要不断思考、研究,捕捉学生学习中存在的思维漏洞,完善解题方法.然笔者对文中某些阐述看法略有不同,现整理如下,与大家探讨,不当之处,敬请批评指正.

1.原题呈现

题目在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a+c=4,(2−cosA)tan=sinA,则△ABC面积的最大值为____.

三角形中的边角互化是通过正余弦定理实现的,在具体题目中如何利用已知条件进行转化是解题的关键.

先将已知条件化简:

进一步化简得2sinB=sinA+sinC,根据正弦定理,有2b=a+c=4,故b=2.下面将始终以此作为已知条件来分析.

2.解法探究

2.1 回顾经验,明确败因

[1]中作者执果索因,根据此类题目常有的经验,示意学生用特殊法(等边三角形)来做,但因缺乏严格的理论支持,无法作为常规解法来讲.之后王老师又尝试了基本不等式,但只能保证ac取到最大值4,由于无法确定此时的sinB是否达到最大,解法失败.文章中展示的三角变换法正如其所言又难又繁,且最终得到的是角B的最大值,对于此时的ac是否取到最大也并未交代,一道并不复杂的题目,在经历了一系列繁琐的变换后居然没能“理直气壮”的走到最后,解法遭遇失败.细细想来,这两种做法犯的其实是同一个错误:即在两个变量中,只保证了其中一个取到最大,对另一个变量的变化无法控制,解法留下遗憾.

2.2 完善解法自然提升

事实上,2.1中两个看似失败的解题思路其实也是学生最容易想到的方法,我们称之为“自然解法”[2].解法自然与否并没有客观的标准,完全是解题者的主观感觉,有时候就便会出现入手简单,过程复杂等情况,学生能从中习得解题的经验较少.作为教师,我们就要从学生的思维角度,从其知识的“最近发展区”出发,寻觅自然解法中更简洁、更适合教学的解法,完善学生的思路而不是轻易否定.

对于三角形面积的处理,我们常常有两条思路:边化角或角化边,将变量统一之后,再利用函数工具求变量的取值范围.而本题中的已知条件是三条边的关系,学生可由余弦定理得出角B的取值范围,故可考虑用角B来表示ac:

解法1由余弦定理得,

反思已知三角形三条边的关系可由余弦定理和基本不等式求出某个角的取值范围,这是学生已有的解题经验,教师既要引导学生寻找解题方向中的“蛛丝马迹”,又要学会分析其中的不同,尝试沟通已知和未知,从思想方法上指导解题.

文[1]作者尝试用海伦公式进行面积求解,化简之后,得到一个关于边长c的函数:从函数或基本不等式你角度或基本不等式都可以得到最大值,但能够记住海伦公式的同学少之又少.其实,学生容易想到的又一“自然解法”是初中常用的几何解法:既然b=2,则只需b边上的高h最大,由即可得到最大值.

解法2设AD=x,则BD2=c2−x2=(4−c)2−(2−x)2,得x= 2c−3,此时从 而S=当且仅当c=2=b=a时取到最大值.

图1

反思解法2直接研究三角形的高,通过引入变量x实现求高的最大值,而且得到的面积表达式与海伦公式是一模一样的,从而帮助学生更好的理解海伦公式的由来,也将初高中知识有机结合,激发学生探究的欲望,增强学生面对挫折(忘记公式)的应对能力.

2.3 探索巧解,追本溯源

文[1]作者最后利用椭圆实现了巧解,挖掘了已知条件的几何意义,利用数形结合将此题“秒杀”,十分精彩.值得注意的是,作者想到这个方法也是突然的“灵感”,学生在感叹其解法的精妙之余,不免对这种解法“望而却步”:毕竟这“灵感”不是说来就来的,当条件改变时,又该如何调整思路呢?其实,数形结合是重要的数学思想方法,可以实现抽象问题具体化,使复杂问题简单化,但使用过程中要注意避免“图”的随意性,正所谓“数无形时不直观,形无数时难入微”.本题中,有了形的直观,如果能从代数的角度进一步解释,便能达到更好的教学效果.教师要从大处着眼,细化过程,从而提炼解题思路,培养学生的学习能力.

解法3以AC所在直线为x轴,AC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(−1,0),C(1,0),设B(x,y),则由椭圆的定义可得点B的轨迹方程为:则

图2

反思解析法是研究平面几何的有力武器,建立坐标系是沟通代数和几何的一座桥梁,以形辅数,直观明了,以数助形,精细入微.[1]中作者若能给出点B的轨迹方程,从代数关系上明确最值的求解,学生即使没能“闪现”出椭圆定义,也能从代数的角度进行刻画,把握问题的本质.其实,解法2和解法3的共同之处都是求已知边上的高的最值,解法2用了几何法,解法3引入坐标系,这也是处理长度的常见的两种办法,可谓殊途同归,多解归一,使得学生的“最近发展区”得到二次提升.

3.变式提升

上述题目可变式为另一道“值得思考”的填空题:

解法2 过点B做BD垂直于AC,垂足为D,设AD=x,则

解法3以AC所在直线为x轴,AC的中垂线为y轴建立直角坐标系,则A(−1,0),C(1,0),设B(x,y),则由AB2=2BC2,可得(x+1)2+y2=2[(x−1)2+y2].化简即得B的轨迹方程:(x−3)2+y2=8(y≠0),即点B在以(3,0)为圆心,为半径的圆周上运动(去掉两个点),此时

图3

通过比较三种解法,可以看出,解析法在解这道题中优势明显.其实,由于题目条件和题型暗示,学生往往会深陷解三角形的常用方法的思维定势,导致运算量增加不少.而此题中的条件比较含蓄,两条边长之比为定值作用不明显,其实这是阿波罗尼斯圆的应用.

4.反思感悟

通过对一道求三角形面积最值题的深入剖析,教师可以引导学生梳理求三角形面积的常用方法、基本不等式的综合应用、根号下“二次函数型”求最值、阿波罗尼斯圆、海伦公式等应用,渗透轨迹思想、数形结合等思想,可谓一举多得.数学解题是思维的训练,我们提倡通性通法,但有时候容易想到的方法难免肤浅粗糙,欠缺精致,我们追求解题过程的简明,但之前可能需要大量的探索,其思考过程未必容易,因此,通法和简法都要兼顾,不可偏废.教师要多动脑筋,下功夫研究题目的不同解法,从中选择有利于学生发展,有利于教学提升的方法,不断追求完美的解题方法

[1]王晔.求解一道题明白一个理[J].中学数学研究,2017(1)(上).

[2]金绍鑫.解题方法要自然•简明•适用[J].数学教学,2016(12).

[3]李益民.题小乾坤大九法妙解它[J].中学教研(数学),2016(7).