从一道“卡西尼卵形线”高考题看“数学文化”

河北省邯郸市第一中学(056000) 马进才

从一道“卡西尼卵形线”高考题看“数学文化”

河北省邯郸市第一中学(056000) 马进才

2016年10月8号,教育部考试中心公布了[2016]第179号文件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》,特别提出要关注数学文化.数学文化体现了数学的人文价值和科学价值,在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色.在高考试题中渗透数学文化,可以适当引导中学数学教学,使得更多的教师关注数学文化,研究数学文化,将数学的本质教授给学生.学生通过数学文化的熏陶,可以促进对健全人格的养成.一方面,可以学到数学家不畏艰辛、不怕失败的精神;另一方面,又能学到以退为进、逐步调整的方法和策略,形成能进能退的开阔胸襟.这正是一种文化的迁移,一种文化的教育.其实,几乎每年的高考试题,无不充满着浓浓的数学文化气息!

1.引例

例1(2011年北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹.给出下列三个结论:

①曲线C过坐标原点;

②曲线C关于坐标原点对称;

③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于其中正确命题的序号为____.

2.背景展示

在数学史上,到两个顶点(叫做焦点)的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线(Cassini Oval),乔凡尼•多美尼科•卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师,他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年,他发现土星光环中间有条暗缝,这就后来以他名字命名的卡西尼环缝.他猜测,光环是由无数小颗粒构成,两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测.为了纪念卡西尼对土星研究的贡献,当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名.卡西尼卵形线是1675年他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.

3.探究本源

设两定点为F1,F2,且|F1F2|=2,动点P满足|PF1||PF2|=a2(a≥0且为定值),取直线F1F2作为x轴,F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设P(x,y),则整理得:(x2+y2)2−2(x2−y2)=a2−1,解得:

于是曲线C的方程可化为

对于常数a≥0,可讨论如下六种情况:

(1)当a=0时,图像变为两个点F1(−1,0),F2(1,0);

(2)当0＜a＜1时,图像分为两支封闭曲线,随着a的减小而分别向点F1,F2收缩;

(3)当a=1时,图像成8字形自相交叉,称为双纽线;

北京高考题的背景即为4—6里研究的结论.

图1

4.真题在现

例2(2009年湖南高考)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和

(I)求点P的轨迹C;

(II)设过点F的直线I与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值.

由题设当x＞2时,由①得

解(I)设点P的坐标为(x,y),则

图2

图3

(II)如图3所示,易知直线x=2与C1,C2的交点都是直线AF,BF的斜率分别为当点P在C1上时,由②知

当点P在C2上时,由③知

若直线l的斜率k存在,则直线l的方程为y=k(x−3).

5.问题思索

学有余力的同学可作进一步思考:

思考1若将“两定点”之一变为“定直线”,那么距离之比为定值的动点轨迹是什么?

思考2若将“两定点”之一变为“定直线”,那么距离之和为定值的动点轨迹是什么?

思考3到定点的距离与到定直线的距离的k倍之和为定值的定点轨迹是什么?

思考4到定点的距离与到定直线的距离之差(的绝对值)为定值的定点轨迹是什么?

思考5到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么?

6.对数学文化的再认知

6.1 考纲增加对数学文化考查的意义

(1)增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.

(2)能力要求:经命题专家精细加工,再渗透现代数学思想和方法;在内涵方面,增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.

6.2 人教版A版教材中的中国古代数学文化(部分)

人教版A版必修2第一章第三节结尾介绍了祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积,通过阅读此文可以了解我国古人卓越的数学智慧,增强民族自信心和自豪感.在感叹古人智慧的同时,也给自己树立良好地榜样,激励自己向前人学习.

人教版A版必修3末的阅读与思考介绍了割圆术.263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆面积,即所谓“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.刘徽采用了以直代曲、无限趋近、“内外夹逼”的思想,创立了“割圆术”.

人教版A版必修5第二节的阅读与思考介绍了海伦与秦九韶.在解三角的问题中,一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a,b,c直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了公式

但现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式,称此公式为海伦公式.我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”.

秦九韶独立推出了“三斜求积”公式,它虽然与海伦公式形式上不一样,但两者完全等价,它填补了我国传统数学的一个空白,从中可以充分说明我国古代已具有很高的数学水平.

6.3 高考试题中以数学文化为背景的试题

分析一:古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景

近年来在全国高考数学试题中,从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景.

(1)2015年高考全国卷I,此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五],将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合.

(2)2015年高考全国卷II,此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]:“又有九十一分之四十九.问约之得几何?”“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之”,后人称之为“更相减损术”.

(3)2015年高考湖北卷,此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五].今有阳马,广五尺,袤七尺,高八尺.问积几何;之[一六]今有鳖臑,下广五尺,无袤;上袤四尺,无广,高七尺.问积几何.考题将“阳马”,“鳖臑”相结合,以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合.巧妙嫁接,精典设问,和谐优美的考题呼之即出.

分析二:课后阅读或课后习题如阿波罗尼圆为背景

从2005-2013年多次涉及考题,全国卷2011年16题以此为命题背景的其他省市:江苏:2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等.

7.教学中的建议

7.1 在知识引入部分注重体现数学文化.

知识的引入部分是体现数学文化的一个重要途径,我们可以从多方面来体现数学文化,如:数学知识的发生、发展的背景,数学知识的应用、数学知识与社会发展的关系,与此知识相关的趣闻轶事,数学家的故事、精神,以及含有此知识的自然资源、人文遗产等.

7.2 在解题的过程中渗透数学文化,尤其是历史上的数学名题.

数学名题和数学猜想是无数先贤细致思考和用心钻研的结晶,它们无不很好的促进了数学的不断前进.历史上许多数学名题不仅能展现出其所在的历史背景,且都展现着某些重要的思想方法和独特的数学魅力.例如古希腊三大几何问题、哥尼斯堡七桥问题、哥德巴赫猜想等.

7.3 在课堂小结中注重体现数学文化.

课堂小结不仅仅是对知识点的总结,更重要的是对数学思想方法的总结,对数学应用价值的总结.在课外阅读中注重体现数学文化.教材的拓展性栏目提供了丰富的数学文化素材,教师应该引导学生阅读、思考、操作,并注意从中引导、总结数学家的探索精神、理性精神、求实精神等数学精神,以及数学与社会发展、生活实际的联系等.

8.结语

数学作为一种文化,体现在数学的方方面面.教材相重视数学文化,几乎教材的每一部分都含有数学文化的内容,我们教师应该主动去发掘开发这些内容,并将数学文化与教学实践有机地结合起来,使数学文化贯穿到教学实践的全过程,而不仅仅是作为课堂教学的附加物.

[1]梅磊,史嘉.例谈数学文化融入高考试题的意义和途径(J).中学数学教学参考,2015(1-2)(上).

[2]陈昂,任子朝.突出理性思维弘扬数学文化(J).考试招生制度改革研究,2015(3).

[3]郭玉红.浅谈以数学文化为背景的高考试题的命制(J).数学教学通讯,2015(18).