线性代数课程的特点与教学方法探究

时间：2024-05-08

王翠香

[摘要]线性代数是理工科院校一门重要的公共基础课，其知识体系采用的是公理化结构，概念抽象、题目灵活多变。作者从本课程的特点出发，结合教学实践总结了在教学过程中一些常见的问题以及解决方法。

[关键词]线性代数;教学;矩阵

[中图分类号]G642[文献标识码]A[文章编号]2095-3437（2019）11-0091-03

线性代数是大学数学中一门重要的公共基础课，由于该课程的课时少，教材内容比较抽象且应用实例偏少，造成学生常常感到学习线性代数掌握得不牢固，在后续的专业课学习中不能学以致用。对于这个普遍存在的问题，解决的关键是要让学生能由浅人深、扎扎实实地掌握线性代数的基本理论和基本方法。近十年来笔者连续承担我校本科生线性代数的教学工作，深感这门课在培养学生基本能力方面大有可为，尤其在学生的自学能力，分析、综合、概括能力的培养与训练方面有许多工作可以做。

线性代数除具有高等数学的共性之外，其“个性”非常鲜明，数学中有几对矛盾在这门学科中表现得尤为突出：

1.具体与抽象。线性代数运用所谓公理化的方法研究，即把数学对象归类，从不同质的具体事物或过程中抽取共同的量的关系，作为最基本的公理、性质，再采用统一的观点与方法，进行演绎和推理等等，揭示和研究其性质。例如向量空间这个概念，就是从大量实例中抽象出来的。可以说抽象程度越高，则概括程度越强，适用范围就越广，但也就越不易理解和掌握，必须从具体实例中去把握它，并且飞跃到理性认识水平。

2.特殊与一般。我们认识事物总是由认识个别和特殊的事物，逐步扩大到认识一般的事物，线性代数也不例外。对于解析几何中二次曲线、二次曲面的标准形的研究问题，抽象到n维空间就是线性代数的二次型理论，二、三阶行列式是n阶行列式的特殊情况。

3.计算与论证。线性代数的计算主要集中在行列式求值、矩阵的初等变换，法则虽然只有几条，其方法好坏却具有很强的技巧性;而线性代数的论证要用的比较抽象的概念，如线性相关、线性无关，尽管定义并不复杂，但初学者仍觉难于掌握和运用。

由于线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，以及从具体概念抽象出来的公理化体系，所以该课程的定义、定理特别多，逻辑推理证明贯彻始终，而且灵活多变，学生学习起来有一定难度。在学习过程中学生对基本原理、基本方法的掌握常出现在以下几个方面的问题：

首先，对课程的基本概念掌握不确切，理解不深入。与高等数学侧重于计算不同，公理化的体系结构使线性代数的定义比较多，学生如果不及时梳理、记忆，会导致概念混淆、结论不清，这是在教学过程中经常出现的情况;另外有些情况下即使记住了结论，但不能深刻理解其意义，仍然会出现不少错误概念。例如矩阵A是非零的，即A≠0，与方阵的行列式lAI≠O分不清，矩阵的初等变换与行列式的某些性质分不清等。

其次，学生容易受已有知识负迁移的影响，出现不少想当然的结论。例如實数的运算满足交换律：对于实数a、b，有ab= ba成立;满足消去律，即若数a≠0，且a6=ac，则有b=c。而在矩阵运算中，一般情况下矩阵的交换律和消去律不成立。又如，若A、B为可逆方阵，误认为（A+B）-1=A-1+ B-1，lA+ BI=IAI+IBI成立。

最后，逻辑思维混乱，正命题、逆命题、否命题、逆否命题分不清。如相似方阵有相同的特征值作为定理已证明过是正确的，但逆命题一般不成立，有些学生搞不清，常误认为。

针对以上情况，为了帮助学生较好地掌握线性代数课程的基本内容，就要启发学生积极思考，想办法调动起学生学习的积极性、主动性，先启发他们会发现问题，再引导他们学会分析问题、解决问题。为此教师必须课上课下精心安排，充分利用每一个教学环节。

成功的线性代数教学，不单纯是贯彻教学大纲中规定的教学要求，更重要的是通过基本知识、理论、方法的传授，提高学生的基本能力，如学会读书、学会思考，学会分析问题、解决问题。总之要训练、提高学生的逻辑思维、逻辑推理能力。在教学实践中，我们注意做了以下方面的工作。

一、在课堂中贯彻启发式教学

讲数学课不易做到语言生动、引人人胜，但可以以思路清晰、语言简练、不断提出问题，用不断解决问题而吸引学生注意力，调动学生积极思考。重要的概念一定要讲准确、讲透彻。如讲“矩阵的秩”这个概念时，先给出“不为零的子式的最高阶数”的定义，而后又提出：“矩阵A中至少有一个r阶子式不为零，而所有的r+l阶子式全为零，称矩阵A的秩为r”这个定义，两者是否一致？为什么？教师主动提出问题让学生考虑，促使学生加深理解概念，后面又陆续介绍矩阵的行秩、列秩，这几种定义刻画的是同一概念，目的是为后面论证与矩阵秩有关的命题时运用。向量组的极大无关组、实对称阵的分类定义也有类似情况。

对于容易混淆误解的概念，可以及时提示或者布置一些思考题，让学生思考、辨析。如布置思考题：“两个矩阵等价”与“两个向量组等价”是否是一回事？有何区别？有何联系？让学生课下思考讨论，并利用答疑时间，指定犯有此错误的同学前来质疑，帮助学生搞清概念。

线性相关与线性无关是线性代数中最重要、也是最抽象的概念之一。在讲解这两个概念时，可以借助于两个向量共线与不共线、三个向量共面与不共面的几何意义来引入，便于学生理解概念的本质意义。在讲解“线性组合”、“线性相关”的定义时，对存在的“任意常数”有不同要求，及时提醒学生注意，并在后面的授课中，不断地提醒学生。

求矩阵的特征值与特征向量是线性代数一类常见的题目类型，因为该过程有固定的程序步骤，单从计算的角度来看难度不大，大多数学生易于掌握。在教学过程中教师要提示学生不要仅限于求出结果，还要分析结果中蕴含的相对应的线性变换的几何意义，通过这样的学习可以使学生对概念的理解提高一个层次，掌握特征值与特征向量的精髓所在。

二、善于提出问题，及时归纳总结

线性代数的授课时数有限，不可能什么问题都指望在课堂上搞得一清二楚。为了扩大课堂教学的效果，适时的布置一些课后思考题也是很有必要的。除了教材中已有的一些思考题外，还可以收集编写部分思考题结合教学使用。如在讲解向量组的线性相关性内容时，有一系列的定义及定理要在6学时内全部介绍完，有不少学生感到应接不暇。出现这种情况就要采取一些措施：一是要向学生说明这部分内容是难点，让学生精力集中听讲;二是强调每次课后都要及时认真复习，并从第二次课开始布置思考题：到目前为止判断向量组的线性相关性有哪些方法？随着内容的讲解办法逐渐增多，如果学时允许教师可以给出一个示范小结，帮助学生将所学知识条理化便于记忆、应用，另一方面起示范作用。并鼓励学生自己小结成文，教师可帮助其修改完善。

线性代数的第一章是行列式，关于行列式的性质一般教科书都会列出十几个，这些性质中最基本的性质其实只有4个，即（1）行列式与它的转置行列式相等;（2）互换行列式的两行（列），行列式变号;（3）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式;（4）若行列式的某一行（列）的元素都是两个数之和，则行列式可拆成两个行列式之和。

还有一条是行列式计算中经常用到的性质，即（5）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变。

所以关于行列式的性质只要掌握以上5条性质并结合起来运用即可。

在线性代数讲到后面几章时，新概念、新理论增多，这时要引导学生注意新旧知识的联系，对比、归纳、小结，以“旧”促“新”，加深对新知识的理解与对旧知识的记忆。如在讲完“方阵的行列式与其特征值的关系”的定理后，可以布置思考题：“方阵可逆的充要条件有哪些？”，引导学生总结出以下8个矩阵可逆的等价命题：

（1）矩阵A可逆;

（2）lAl≠0;

（3）A是满秩矩阵;

（4）A是非奇异矩阵;

（5）A是非退化矩阵;

（6）A=P1P2，…PL其中Pi（1≤i≤L）为初等矩阵;

（7）A—E，其中E为单位矩阵;

（8）A的特征值均不为零。

以上几个命题从不同的角度刻画了矩阵的可逆性，可以帮助学生系统地掌握所学知识。

又如在讲完相似方阵有相同的特征值时强调，逆命题不一定成立，同时提出第一个问题“若同阶方阵A、B不但有相同的特征值，而且特征值全是单根时，问A与B是否相似？”，以及第二个问题“A与B皆为n阶实对称阵，它们又有相同的特征值，问A与B是否相似？”

在讲完线性变换概念后，可提出思考题：前面几章介绍的初等变换，相似变换，合同变换是否是线性变换？等等。

三、精选习题，合理安排习题课

为了使学生巩固所学的知识，包括基本概念、基本计算、基本证法，提高学生的解题能力，除教材中配置的习题外，还需要适当增加一些配套的习题。习题的选择要略高于教材题目的典型例子，分析解题的思路方法，启发学生针对题目类型，在学会常用解法的基础上做到举一反三。

如在学完方阵的特征值、特征向量之后，布置习题：求方阵A=的特征值和特征向量，使学生又有机会重温了n阶行列式的计算。在学完矩阵相似概念后，布置以下习题：求一切只与自己相似的方阵。通过做这个题，可以使同学又复习了一种基本证法：在已知条件中出现“一切……如何，如何”，这“一切”就取“特殊”的这样一种基本技巧。

又如在学完相似概念后，可布置习题：（1）证明正定矩阵为正交阵的充要条件是它必是单位阵;（2）如果A、B是同阶正定阵，证明乘积AB仍是正定阵的充要条件是AB= BA。其中第（1）题是基本证明题，不用特殊的技巧，但它用到了线性代数的第三、四、五章有关概念及重要结论;第（2）题属于灵活运用正定阵的性质的习题，有一定难度，可作为选作题或习题课的例题。此题除介绍证法外，可与两个实对称阵相乘仍为实对称阵的充要条件也是乘积可交换这一命题前后呼应。

习题课的内容一般根据学生对某一段内容掌握情况而灵活安排，可以讲评作业中出现的问题，尤其是出示本班学生作业中的典型错误来教育学生自己的方法效果更好;或者通过举例，及时总结解题的思路，帮助学生掌握某一类证明题的基本方法;再者可以安排做一些综合练习。为了训练学生的发散思维，课上选出一题，让学生提出各种解法，或用尽可能多的方法解某题，期中测验的试卷分析，也是一种生动的正反面教材。

还需要注意的是，批改作业要认真仔细，发现学生出现错误的地方都要明确标出，必要時加一些批注，指出其解题中产生错误的原因，或提出有关问题让学生思考。有时虽然做法没错，但方法不好也要给予指出。

四、加强线性代数应用举例

在理论上线性代数具有较高的概括性与抽象性，它的内容、观点和方法应用也非常广泛。

以矩阵为例，它不仅是高等数学各分支不可缺少的工具，矩阵方法在实际问题中也是非常有力的武器。从线性变换的角度，微分算子、积分算子都是一种线性变换，利用线性变换的有关运算，常微分方程组就变为了矩阵方程;有些偏微分方程组可用差分法变成线性方程组用矩阵求解;在电路设计与分析中和研究力学体系微小振动时，矩阵都是不可或缺的工具;在规划论、对策论、排队论、和数理统计等运筹学科和随机类学科中，矩阵的应用更为普遍;在其他边缘学科，如控制理论、信息论以及经济社会学科中，矩阵也不乏其应用。

二次型理论源于解析几何中二次曲线、二次曲面化标准形的问题，也有很广泛的应用。例如正定二次型用于定义多元统计分析中的多元正态分布，正定二次型的定理可给出热力学中系统平衡的稳定条件，半正定二次型与概率论的协方差矩阵对应等等。

在线性代数的教学中引入其在不同领域应用的实例教学，不仅会调动学生的学习积极性，同时教会学生懂得应用、善于应用，与学好线性代数理论是相互促进的。

五、结束语

在理工科大学数学的公共基础课中，线性代数的内容抽象、课时最少，要在有限的学时内，让学生充分掌握课程的内容，尤其是现代数学中矩阵这个重要工具，需要教师从本课程的特点出发，在教学中不限于传授知识，更重要的是培养学生分析问题、解决问题的能力，为学生继续学习后继课程打下坚实的基础。

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