一类随机四阶抛物型方程的解的稳定性研究

（南京邮电大学通达学院，江苏 扬州 225127）

近年来，随机微分方程（SDEs）和随机偏微分方程（SPDEs）因其在自然科学、工程控制、生物等领域的广泛应用而受到越来越多的重视和研究.人们主要关心方程解的存在唯一性及稳定性.目前已有一些好的研究方法，如Lyapunov函数方法、逐次逼近法、大偏差理论、不动点原理等.其中，不动点原理因其在解的稳定性研究方面简单有效而受到广泛使用，尤其是那些带Markov链和Possion跳的问题.但是，目前已出版的文献大多是讨论随机微分方程或者随机热方程（二阶抛物），而很少有随机四阶抛物型偏微分方程的解的稳定性结果.如文献［1］讨论了线性随机四阶抛物型方程的解的稳定性.

到目前为止，尚没有非线性随机四阶抛物型方程的解的稳定性结果.

本文考虑一类带Markov链的非线性随机四阶抛物型方程的解的稳定性问题.利用不动点原理，我们不但得到了解的存在唯一性，还得到了温和解的p阶矩指数稳定性.

一、记号、模型及定义

常用记号：本文用到的记号简介如下：

(N5)拉普拉斯算子：，散度：

模型：本文主要考虑如下非线性随机四阶抛物型偏微分方程：

其中α,β:S→R，记αi=α(i)，βi=β(i)，Φ:[0,T]×L2(Θ)×S→L2(Θ)为Ft可测的，初值u0为F0可测随机变量，与r(⋅)和B(⋅)相互独立，且∀p＞ 0，Ε‖u0‖p<∞.

定义1：取值于L2(Θ)的随机过程u:={u(t,⋅)}t∈[0,T]称为方程（1）的温和解，若其满足：

（i）u∈C([ 0 ,T] ;L2(Θ))，∀t∈ [ 0 ,T]，且u(t)是Ft适应的，满足：

（ii）u满足随机微分方程

定义2：方程（1）称为是p阶矩指数稳定性的，若存在常数δ＞0，C＞0使得

最后，我们给出定理证明的一些必要假设.

假设：（A1）‖etΔ‖ ≤ Me-γ t，M为常数，γ＞ 0；

（A2）Φ 是满足以下条件的算子：∀u,v∈L2(Θ)，p≥ 2，存在正常数LΦi(i∈S)使得：Φ(t,0,i)=0,‖Φ(t,u(t,x),i)-Φ(t,v(t,x),i)‖ ≤LΦi‖u(t,x)-v(t,x)‖;

（A3） sup1≤i≤N|αi|LΦi<∞，sup1≤i≤N|βi|<∞.

二、主要定理

本节我们将用不动点原理讨论方程（1）的温和解的存在唯一性及p阶矩指数稳定性.

引理1［4］：设G(t,x)是ut=Δu-Δ2u的基本解，则

其中，G1(t,x)为ut-Δu=0 的基本解，满足；G2(t,x)为ut+Δ2u=0 的基本解，满足；“*”指卷积，“”指v的 Fourier变换.记eΔt:=G1(t,x)，e-Δ2t:=G2(t,x)，e(Δ-Δ2)t:=G(t,x).

引理2［3］：设G1(t,x)，G2(t,x)，G(t,x)如上，则：

引理3：若etΔ满足假设（A1） ， 则

证明：由卷积的Young不等式，引理1及引理2得：

其中＞0为常数，如不特别说明，我们将不再加以区分.

特别地，若k=0，则

当p≥2时有s＞0.故由Γ-函数的特点知此时积分收敛.又

证明：设H是所有Ft适应的连续过程的Banach空间，u(t,x)∈H，满足Ε‖u(t,x)‖p≤M*Ε‖u0‖pe-ηt,t≥ 0，M*＞0,0<η<γ.H中的范数定义为

我们定义算子φ :H→H：

由Cp不等式［2］得：

显然φ在[0,+∞)上是p阶矩连续的.以下我们分两步证明.

步骤1：φ(H)⊆H.由引理3得：

由假设（A1-A3），引理3，引理4及Hölder不等式得：

由引理3和BDG不等式［5］得：

由此φ(H)⊆H得证.

步骤2：φ是压缩映射.∀u,v∈H，u(0,x)=u0(x)=v(0,x)，考虑下式：

由条件（11）∈(0,1)得：φ是压缩映射.

由不动点定理可知φ在H中有唯一不动点u(t,x)，且由以上证明可知u(t,x)是p阶矩指数稳定的.由此定理1证毕.