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始于困惑 中于支点 终于体系——“分数乘除法问题解决”教学探究和实施策略

时间:2024-05-08

文|王小莲 徐玉燕

在小学数学学习中,分数的内容是教学中的一个难点,其中以“分数乘除法问题解决”尤为突出。

一、教学现状——机械解题,思路刻板

在“分数乘除法问题解决”教学中我们发现,学生在解决分数乘法和分数除法问题时很容易混淆。很多教师认为,分数类乘除法问题解决的教学关键在于找单位“1”和判断单位“1”是否已知。所以,在解题过程中,大部分学生是按照以下机械模式来操作的。

1.找单位“1”。

通过读题,去寻找题目条件中分率所对应的单位“1”。单位“1”是哪个量,可通过一些“特征”来判断,比如“是”、“比”字后面的数量就是单位“1”的量;分率前面“的”字前面的数量也是单位“1”的量。

2.判断单位“1”的量是否已知。

找到单位“1”,判断单位“1”是否已知,从而确定用什么方法来解决。这种解题方式,对于解一些“模型题”是有效的,但对于“模型题”以外的习题,学生就无法灵活运用,无法内化成解决问题的能力。

那么,如何理解分数类解决问题教材的优化?分数类解决问题采用什么样的教学策略才会更加有效?

二、解读教材——立足支点,丰富认知

解决“求一个数的几分之几是多少”“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的问题都与分数乘法的意义有着紧密的联系,所以“分数乘法的意义”是分数乘除法问题解决的支点。但由于“求一个数的几分之几是多少”对学生来说是一种新的表述形式,学生理解起来尚有一定难度。修订版教材把求几个相同分数相加之和、求一个数的几分之几是多少都纳入到学生原有的乘法意义的认知体系。

实验版和修订版教材都是以旧知识引路,通过类比导入新知达到以旧促新之目的,但列式依据的数量关系是不同的,注重根据分数乘法意义来列式解决实际问题。

三、寻找策略——建构模型,共筑体系

1.顺应发展脉络,用知识统领全局。

(1)剖析前因后果,整体把握教材。

从2011年人教版教材的编写特点来看,分数的学习在小学分成三个阶段,分别是三年级下册《分数的初步认识》、五年级下册《分数的意义和性质》和《分数的加法和减法》、六年级上册《分数乘法》和《分数除法》。分数乘除法问题解决共分六大类,除《分数除法》单元的例7 以外,其余的五大类都可以还原或转化成“求一个数的几分之几是多少”这个问题。而“求一个数的几分之几是多少”,就是根据分数乘法的意义列出数量关系。

(2)明晓来龙去脉,精心设计教学流程。

①单位“1”具体化。

教学片断:

●把20 米平均分成4 份,其中3 份是多少?

20÷4×3=15(米),用线段图怎么表示?

这个题目的单位“1”用一个具体的量20 米来表示,要求出它的的具体量要用乘法。

②算理表征多维化。

只有学生真正理解一个数乘以分数背后的算理,才是完整理解了“求一个数的几分之几是多少”为什么要用乘法计算;只有真正理解了分数乘法的意义,才能为分数乘除法问题解决扎根。

(3)着眼深入浅出,逐步构建知识网络。

分数乘法意义列出的数量关系是:分率对应的量=单位“1”×分率,而我们以前所学的倍比关系的数量关系是:多倍量=一倍量×倍数,理顺这两者之间的数量关系,单位“1”的量就是倍比关系中的一倍量,分率的含义就是整数“倍”的含义的扩充,分率只是非整数倍,如下图所示。

所以,分数类解决问题的数量关系和倍比关系的数量关系是一样的。当求一个数的几分之几或几倍是多少时,我们是用乘法;当已知一个数的几分之几或几倍是多少,求这个数的时候用方程或除法,而它们的数量关系都是一样的。

综上所述,分数的乘除法问题解决应该对应到倍比问题中来。“倍比关系”的教学在小学有三个阶段:三年级上册学习整数类倍比问题,五年级上册学习小数类倍比问题,六年级上册学习分数类倍比问题。所以,“倍比问题”是一类系统问题,只有在系统教学的前期做好知识铺垫,利用好知识的正迁移作用,才可能实现最后的知识难点的突破。

2.启迪智慧思辨,用方法串联核心。

分数乘除法问题解决的核心在于厘清其中的数量关系,我们可以用画线段图、提炼数量关系、列方程等方法串联这一核心。

(1)画图示意——“授之以鱼,授之以渔”。

数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。根据一个数乘以分数的意义能顺利解答简单的分数应用题,而复合的分数应用题的数量关系较为复杂,又不易判定单位“1”的量,所以借助线段图进行数形转换的思维训练能有效帮助学生正确解答复合的分数乘除法应用题。

(2)抽出“骨架”——“既见树木,又见森林”。

分数乘除法问题解决要紧扣数量关系进行教学,将实际问题解决抽象成文字题,转化为数量关系明显的数学问题。例如,人心脏跳动的次数随着年龄而变化。青少年心跳每分钟约75 次,婴儿每分钟心跳的次数比青少年多。婴儿每分钟心跳多少次?读题目后,提炼出数量关系,将此实际问题解决抽象成文字题,就是求比75 多的数是多少?最后列式:75×(1+)=135(次)。可见,“分数乘除法问题解决”文字题教学不仅有利于式题、文字题和问题解决之间的转化、具体与抽象之间的转换,而且有利于学生巩固数学基础知识,提高解题能力。

(3)顺向思维——“兼听则明,偏信则暗”。

分数除法的问题解决应该用算术解法,但笔者翻看了人教版最近的三个版本,发现都是引入方程来解决问题。有人认为引入方程对于之前的模式教学并没有什么实质性突破,学生依旧需要从已知数量中找单位“1”是谁,由此决定到底是直接用算术方法的乘法计算还是用方程的乘法计算。

①引入方程,真的是“换汤不换药”?

笔者认为,引入方程最大的目的是打破了分数乘法和分数除法的界限,通过“一个数乘以分数的意义”将两者沟通起来。两者都是根据一个数乘以分数的意义列出关系式,不同的是分数乘法问题解决,根据关系式列出的是一个算式,而分数除法问题解决根据关系式列出的是一个方程。

不仅如此,列方程解决这类问题最大的优势在于思维的顺向性,引入方程可以有效地降低除法逆运算的思维难度。

②引入方程,只是算术解法的过渡?

引入方程可以降低思维难度,那么在熟练方程解题之后是不是就过渡到算术方法?“算术方法的除法”与“方程”这两种方法,哪种方法才是我们的最后的目标?教材多次改编,改变的不是“算术方法的除法”与“方程”这两种方法相互替换,而是把最终方法落在方程上。列方程解决问题是小学数学学习中的一个难点,这是与算术解法完全不同的两种思维方式。到了小学高段,学生已经从算术思维慢慢走向方程思维,而到初高中阶段又是方程思维,所以用方程解决分数除法的问题,既能扎实小学阶段的方程思维,更能和初中的方程思维接轨。

3.用思想贯穿过程,凸显数学本质。

(1)“启”——开启数形结合。

线段图是一种重要的数形结合的思想方法,当只有文字叙述时,线段图在帮助学生解决问题时起到了非常重要的作用。教学时不仅要求学生能根据题意画出线段图,也要能解读线段图。在借助线段图解题的过程中让学生学会自主归纳总结并提炼出解题模型。

(2)“承”——传承数学思想。

整数和小数类倍比关系的数量关系是:多倍量=一倍量×倍数,分数类倍比问题的数量关系是:分率对应的量=单位“1”×分率,“倍比问题”是一类系统问题,笔者认为数量关系式也应该统一为:比较量=标准量×倍率。所以,在每一阶段教学“倍比问题”知识的时候都应紧扣“比较量=标准量×倍率”这个数量关系式来分析,紧扣“比较量”和“标准量”这两个量的理解来实施教学。每个阶段都落实好“标准量”和“比较量”的认识,就能不断扩充和完善对倍比关系的认识。

(3)“转”——化转倍率关系。

“倍”和“率”只是倍比关系中两个方向的描述,在分数倍比问题教学的时候要经常将分率转化成小数倍进行对比。如甲数是乙数的3 倍,即乙数是甲数的;“甲数的”可转化为“甲数的0.2 倍”;“比甲数多50%”可转化为“是甲数的1.5 倍”……如此对“倍”和“率”的理解进行有效沟通,能有效消除学生对分率理解的困难。

(4)“合”——暗合以简驭繁。

用数学解决实际问题,需要我们看透知识表层背后规律性的内容。用样本探究规律,发掘解决问题的方法,并用建模的思想推广应用。

数学教学不仅要传授知识,还需挖掘蕴含的数学方法,进行归纳总结,使学生更系统地理解数学、掌握数学,形成一定的数学意识。

综上所述,分数乘除法问题解决的教学困惑绝不是一个简单的知识点的问题。它是倍比数量关系教学板块中的一部分,我们要有系统意识,利用好知识的正迁移。同时,分数乘除法问题解决应该提升到“问题解决”的系统建构上来,从整体上认识这个问题,让分数乘法意义、分数计算、数形结合的教学推动解决问题的教学。

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